Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
(a+1)x - ay = 5 \\
x + ay = a^2 + 4a
\end{cases}
\]

ta cần tìm hằng số \( a \) sao cho hệ có nghiệm duy nhất \( (x, y) \) với \( x \) và \( y \) là các số nguyên.

### Bước 1: Biểu diễn \( y \) theo \( x \)

Từ phương trình thứ hai:

\[
y = \frac{x - a^2 - 4a}{a}
\]

**Lưu ý:** \( a \neq 0 \) vì \( y \) phải được xác định.

### Bước 2: Thay \( y \) vào phương trình thứ nhất

Thay \( y \) vào phương trình thứ nhất:

\[
(a + 1)x - a\left(\frac{x - a^2 - 4a}{a}\right) = 5
\]

Simplify the equation:

\[
(a + 1)x - (x - a^2 - 4a) = 5
\]

\[
(a + 1)x - x + a^2 + 4a = 5
\]

\[
ax + a^2 + 4a - 5 = 0
\]

### Bước 3: Điều kiện có nghiệm duy nhất

Hệ có nghiệm duy nhất khi xác định được \( a \) sao cho hệ phương trình không có nghiệm tắc chéo. Để đảm bảo không có nghiệm tắc chéo, cần xét định thức của hệ phương trình.

Phương trình có thể được viết lại như sau:

1. \( ax + (-ay) = 5 - \text{(hằng số)} \)
2. \( x + ay = a^2 + 4a - \text{(hằng số)} \)

Lập định thức:

\[
\text{Determinant} = \begin{vmatrix}
a + 1 & -a \\
1 & a
\end{vmatrix} = (a + 1)a - (-a) = a^2 + a + a = a^2 + 2a
\]

### Bước 4: Giải điều kiện định thức khác không

Để hệ có nghiệm duy nhất thì định thức \( a^2 + 2a \neq 0 \), tức là:

\[
a(a + 2) \neq 0
\]

Vì vậy:

1. \( a \neq 0 \)
2. \( a \neq -2 \)

### Kết luận

Bạn có thể kiểm tra các giá trị nguyên của \( a \) thoả mãn \( a \neq 0 \) và \( a \neq -2 \) để tìm ra các giá trị \( x \) và \( y \) là các số nguyên. Một số giá trị có thể là \( a = 1, 3, 4, ...\).

Hãy thay các giá trị này vào hệ phương trình để giải và tìm \( (x, y) \) tương ứng.