Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành theo từng bước một.

**Bước 1: Vẽ hình**

1. Vẽ một đường tròn tâm O với đường kính AC.
2. Kẻ hai tiếp tuyến MA và MB từ điểm M bên ngoài đến đường tròn, tại các tiếp điểm lần lượt là A và B.
3. Kẻ đường kính MC, cắt nhau tại O (H là giao điểm khác C giữa MC với đường tròn).

**Bước 2: Chứng minh (a)**

**Chúng ta cần chứng minh:** 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn và MO vuông góc với AB tại I.

1. Theo tính chất của tiếp tuyến: MA ⊥ OA và MB ⊥ OB.
2. Vậy MA, MB là các đường tiếp tuyến, và ta có OA = OB (bán kính).
3. Suy ra tam giác OMA và OMB là hai tam giác vuông tại A và B.
4. Theo định lý Pytago cho 2 tam giác này, ta có:
- OA^2 + AM^2 = OM^2
- OB^2 + BM^2 = OM^2
5. Từ đó, ta có: OA^2 + AM^2 = OB^2 + BM^2.
6. Do đó, điểm M, A, O, B đều nằm trên một đường tròn với đường kính MB.

Để chứng minh MO vuông góc với AB tại I:

1. Gọi I là điểm giao nhau của MO với AB.
2. Ta có OA = OB và OA ⊥ MA, OB ⊥ MB, điều đó có nghĩa rằng MO cắt AB ở trung điểm của đoạn AB.
3. Do đó, MO vuông góc với AB tại I.

**Bước 3: Chứng minh (b)**

**Chúng ta cần chứng minh:** AHC = 90° và tam giác MIH đồng dạng tam giác MCO.

1. Để chứng minh AHC = 90°, ta sẽ xem xét góc AHC.
- HC là một đường kính, theo định lý đường kính thì góc AHC sẽ là góc vuông (A nằm trên đường tròn, C và H nằm trên đường kính).
- Vậy AHC = 90°.

2. Để chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MCO, chúng ta sẽ chứng minh các góc tương ứng bằng nhau.
3. Xét:
- Góc MIA = góc MCO (do MO là phần của đường kính).
- Góc IAH = góc OMC (do AC là chiều dài đường kính trong khi MI hứng góc tại I).
4. Từ đó, ta có 2 tam giác MIH và MCO có hai cặp góc tương ứng bằng nhau.
5. Do đó, MIH ~ MCO.

Từ những bước chứng minh trên, ta có đủ các điều kiện yêu cầu của bài toán.