Để phân tích biểu thức \(81^{4} + 4b^{4}\), ta có thể nhận ra rằng biểu thức này có dạng của một tổng bình phương, cụ thể là:

\[
a^2 + b^2 \quad (a = 81^2, b = 2b^2)
\]

Tuy nhiên, chúng ta cần phải nhận ra đây là tổng của hai bình phương và có thể sử dụng công thức phân tích cho tổng bình phương, nhưng trong trường hợp này, cách tốt nhất để phân tích là chú ý đến định lý về tổng hai bình phương.

Ta có thể viết lại biểu thức:

\[
81^4 + 4b^4 = (81^2)^2 + (2b^2)^2
\]

Áp dụng công thức của tổng bình phương:

\[
x^2 + y^2 = (x + iy)(x - iy)
\]

Theo đó ta có \(x = 81^2\) và \(y = 2b^2\), tuy nhiên, chúng ta muốn đưa ra hình thức phân tích như sau:

\[
81^4 + 4b^4 = (81^2 + 2b^2 + 2 \cdot 81 \cdot b)(81^2 - 2b^2 + 2 \cdot 81 \cdot b)
\]

Vì vậy, biểu thức phân tích cuối cùng sẽ là:

\[
(81^2 + 2b^2 + 81b)(81^2 - 2b^2 + 81b)
\]

Hy vọng điều này giúp ích cho bạn trong việc phân tích biểu thức!