Gọi hai số cần tìm là \( x \) và \( y \), trong đó \( x \) là số bé và \( y \) là số lớn.

Theo đề bài, chúng ta có các thông tin sau:

1. Tổng hai số là 78:
\[
x + y = 78 \tag{1}
\]

2. Khi tăng số bé 16 đơn vị, hiệu của hai số trở thành 24:
\[
(y - (x + 16)) = 24 \quad \Rightarrow \quad y - x - 16 = 24 \tag{2}
\]

Từ phương trình (2), ta có thể biến đổi như sau:
\[
y - x = 40 \tag{3}
\]

Bây giờ, ta có hai phương trình (1) và (3):
1. \( x + y = 78 \)
2. \( y - x = 40 \)

Giải hệ phương trình này:

* Từ phương trình (3), ta có:
\[
y = x + 40 \tag{4}
\]

* Thay phương trình (4) vào phương trình (1):
\[
x + (x + 40) = 78
\]
\[
2x + 40 = 78
\]
\[
2x = 78 - 40
\]
\[
2x = 38
\]
\[
x = 19
\]

* Thay giá trị của \( x \) vào phương trình (4) để tìm \( y \):
\[
y = 19 + 40 = 59
\]

Vậy hai số cần tìm là \( x = 19 \) và \( y = 59 \).

**Kết luận**: Hai số đó là 19 và 59.