Để tìm số nguyên tố \( p \) sao cho \( p+6 \), \( p+8 \), \( p+12 \), và \( p+14 \) đều là các số nguyên tố, ta sẽ kiểm tra các giá trị của \( p \).

Ta sẽ cho một số nguyên tố \( p \) và kiểm tra từng trường hợp:

1. **Nếu \( p = 2 \):**

- \( p + 6 = 2 + 6 = 8 \) (không phải số nguyên tố)

2. **Nếu \( p = 3 \):**

- \( p + 6 = 3 + 6 = 9 \) (không phải số nguyên tố)

3. **Nếu \( p = 5 \):**

- \( p + 6 = 5 + 6 = 11 \) (nguyên tố)
- \( p + 8 = 5 + 8 = 13 \) (nguyên tố)
- \( p + 12 = 5 + 12 = 17 \) (nguyên tố)
- \( p + 14 = 5 + 14 = 19 \) (nguyên tố)

Tất cả đều là số nguyên tố.

4. **Nếu \( p = 7 \):**

- \( p + 6 = 7 + 6 = 13 \) (nguyên tố)
- \( p + 8 = 7 + 8 = 15 \) (không phải số nguyên tố)

5. **Nếu \( p = 11 \):**

- \( p + 6 = 11 + 6 = 17 \) (nguyên tố)
- \( p + 8 = 11 + 8 = 19 \) (nguyên tố)
- \( p + 12 = 11 + 12 = 23 \) (nguyên tố)
- \( p + 14 = 11 + 14 = 25 \) (không phải số nguyên tố)

Tiếp tục thử các số nguyên tố tiếp theo như 13, 17...

Kết quả, ta thấy rằng \( p = 5 \) là giá trị duy nhất mà là số nguyên tố và cho ra tất cả các giá trị \( p+6, p+8, p+12, p+14 \) cũng đều là số nguyên tố.

Vậy số nguyên tố \( p \) là **5**.