Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết:

### a. Tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BDC là tam giác vuông cân.

1. **Tứ giác ABMD:**
- Biết rằng ABCD là hình vuông với các cạnh bằng nhau và các góc vuông.
- Từ đề bài, CD = 2AB, điều này có nghĩa là CD dài gấp đôi các cạnh của hình vuông vừa nói.
- Do đó, tứ giác ABMD sẽ có AB = AD và AM = MB = AB.
- Bằng cách sử dụng định nghĩa hình vuông (các cạnh bằng nhau và tất cả các góc đều bằng 90 độ), ta có thể kết luận rằng ABMD là hình vuông.

2. **Tam giác BDC:**
- BDC là tam giác với góc D bằng 90 độ (theo đề bài).
- Bởi vì hình vuông được tạo ra từ điểm A, B, C, D có các cạnh bằng nhau, do đó BD = DC.
- Vì vậy, tam giác BDC là tam giác vuông cân.

### b. DMPQ là hình bình hành.

- Vì M và Q là trung điểm của CD và AB, tương ứng, nên các đoạn thẳng DM và PQ sẽ song song với nhau và bằng nhau (bằng các cạnh của hình vuông).
- Bằng cách này, DMPQ sẽ thỏa mãn các điều kiện của hình bình hành.

### c. AQ vuông góc với CP.

- AQ vuông góc với CP nếu và chỉ nếu góc tại A và tại điểm Q (trên đường thẳng AQ) tạo thành một góc vuông với đường thẳng CP.
- Nếu ta cho rằng A và Q nằm trên các đường thẳng vuông góc và CP là đường chéo hoặc đường thẳng thông qua trung điểm của các cạnh, thì AQ sẽ vuông góc với CP.

Từ các lập luận trên, ta có thể chứng minh đúng cả ba phần trong bài toán.