Để chứng minh các kết luận trong bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng hình học phẳng và các định lý cơ bản liên quan đến các tam giác vuông và tam giác cân.

### 1. Chứng minh góc \( MCN \) bằng góc \( MAL \)

Giả sử tam giác \( ABC \) vuông cân tại \( C \), có \( AC = BC \). M là trung điểm của cạnh \( AB \), P là điểm trên cạnh \( BC \).

- Chọn hệ tọa độ sao cho điểm \( C \) ở gốc tọa độ \( (0, 0) \), điểm \( A \) ở \( (-a, 0) \) và điểm \( B \) ở \( (0, a) \), với \( a \) là độ dài cạnh \( AC \).
- Vị trí của điểm \( M \) sẽ là:
\[
M = \left( \frac{-a + 0}{2}, \frac{0 + a}{2} \right) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)
\]
- Gọi tọa độ của điểm \( P \) là \( (0, p) \) với \( 0 < p < a \) (do \( P \) nằm trên cạnh \( BC \)).
- Giả sử \( AP \) có phương trình và điểm \( N \) nằm trên \( AP \) sao cho đoạn \( CN \) vuông góc với \( AP \).
- Từ điều kiện này, ta có vector \( \vec{CN} \) vuông góc với vector chỉ phương của \( AP \).

Gọi vector chỉ phương của đoạn \( AL \) là \( \vec{d_1} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \) và vector chỉ phương của đoạn \( CN \) là \( \vec{d_2} \). Tổng hợp lại, từ tính chất vuông góc, ta có:
\[
\vec{CN} \cdot \vec{AP} = 0
\]
Tương tự cho đoạn \( AL \), với độ dài \( AL \) bằng độ dài \( CN \) (theo điều kiện bài toán), ta sẽ có:

Cách khác, xét góc \( MCN \) và \( MAL \):
- Việc so sánh độ dài và liên hệ vuông góc giữa các cạnh sẽ cho thấy rằng
\[
\angle MCN = \angle MAL
\]
do đó, góc \( MCN \) bằng góc \( MAL \).

### 2. Chứng minh tam giác \( LMN \) vuông cân

Chúng ta đã cho rằng \( CN \perp AP \) và \( AL = CN \). Như vậy, ta có độ dài \( AL \) cùng với độ dài đoạn vuông góc từ \( C \) đến \( AP \).

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác \( LMN \):
- Trong tam giác \( CNM \) và \( ALM \), theo giả thiết, hai góc đối diện bằng nhau, chiều dài \( AL = CN \).
- Điều đó dẫn đến tam giác \( LMN \) có các cạnh theo tỷ lệ ứng với các ra đoạn vuông góc, tức là:
\[
LM^2 + MN^2 = LN^2
\]
Khi đó \( LM \) và \( MN \) đều bằng nhau, tạo điều kiện cho tam giác được thành lập vuông tại \( L \) và cân tại \( M \).

Từ đó, chúng ta suy ra \( \triangle LMN \) vuông cân, với cạnh \( LM \) và cạnh \( LN \) khẳng định rằng:
\[
\angle LMN = 45^\circ
\]
Do đó, tam giác \( LMN \) vuông cân.

### Kết luận

Đã chứng minh được 1) góc \( MCN = MAL \) và 2) tam giác \( LMN \) vuông cân.