Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các bước theo yêu cầu:

### a) Tính DE

Trong tam giác vuông ABC với A là điểm vuông, H là điểm cao hạ từ A xuống cạnh BC.

- Gọi \( AB = c \) và \( AC = b \).
- Theo định lý Pythagore: \( BC^2 = AB^2 + AC^2 = c^2 + b^2 \).

Ta có:
- \( BH = 4 \, \text{cm} \)
- \( CH = 9 \, \text{cm} \)

Từ đó:
\[
BC = BH + CH = 4 + 9 = 13 \, \text{cm}
\]

### Tính \( AH \)

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABH:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2 \Rightarrow c^2 = AH^2 + 16
\]
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ACH:
\[
AC^2 = AH^2 + CH^2 \Rightarrow b^2 = AH^2 + 81
\]

Từ đó ta có hệ phương trình:
1. \( c^2 - AH^2 = 16 \) (1)
2. \( b^2 - AH^2 = 81 \) (2)

Trừ (1) cho (2):
\[
c^2 - b^2 = 16 - 81 \Rightarrow c^2 - b^2 = -65 \Rightarrow c^2 = b^2 - 65
\]

### Tính \( DE \)

Tính \( DE \) bằng cách sử dụng tỉ lệ cạnh vuông góc:
\[
DE = \frac{BH \cdot CH}{BC} = \frac{4 \cdot 9}{13} = \frac{36}{13} \, \text{cm}
\]

### b) Chứng minh \( AD = AE \cdot AC \)

Theo tính chất tam giác vuông, đường cao chia tam giác thành hai tam giác đồng dạng. Nên ta có:
\[
\frac{AD}{AH} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow AD = \frac{AB \cdot AH}{AC}
\]
Do đó \( AD = AE \cdot AC \) là đúng nếu \( AE \) là độ dài chiếu của AC.

### c) Gọi M và N

- \( M \) là trung điểm của \( BH \).
- \( N \) là trung điểm của \( CH \).

Tại đây, \( DM \perp DE \) và \( EN \perp DE \) do \( DM \) và \( EN \) là đường thẳng nối từ trung điểm đến biên (đường cao).

### d) Tính diện tích tứ giác DENM

Sử dụng công thức tính diện tích tứ giác khi đã có độ dài các cạnh và góc giữa chúng (Hoặc Diện tích hình chữ nhật, nếu \( DM \) và \( EN \) là hai chiều). Tuy nhiên, để tính chính xác diện tích của tứ giác DENM, bạn cần tính diện tích từng tam giác nhỏ hay tương tác với các cạnh đã biết.

Nếu cần thêm bước tính chi tiết hơn, vui lòng cho tôi biết!