Để chứng minh rằng bốn điểm \( A, B, D, E \) cùng nằm trên một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của góc trong đường tròn.

**Phần a: Chứng minh bốn điểm \( A, B, D, E \) cùng thuộc một đường tròn**

Trong tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), với đường cao \( BE \), ta có:

1. \( D \) là trung điểm của đoạn \( BC \) và \( F \) là trung điểm của đoạn \( AB \).
2. Đường cao \( BE \) từ \( B \) đến \( AC \) tạo thành góc vuông tại \( E \).

Ta sẽ xét các cặp góc sau:

- Góc \( ABE \) và góc \( ADE \) là một cặp góc đối diện trong tứ giác \( ABDE \).
- Góc \( ABE = 90^\circ \) (do BE là đường cao).

Vì \( D \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BD = DC \).

Ta có kết luận sau từ đây:

- \( AD \) là đường chéo của tứ giác \( ABDE \).
- Từ tính chất của tứ giác, nếu một cặp góc đối diện trong một tứ giác bằng nhau (hoặc một cặp góc đối diện tạo thành một đường thẳng) thì bốn điểm đó cùng nằm trên một đường tròn.

Ta có:

\[
\angle ABE + \angle ADE = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]

vì vậy tứ giác \( ABDE \) là tứ giác nội tiếp (có thể nằm trên một đường tròn).

**Kết luận: Bốn điểm \( A, B, D, E \) cùng nằm trên một đường tròn.**

---

**Phần b: Chứng minh \( C \) không thuộc cùng một đường tròn với \( A, B, D, E \)**

Ta cần chứng minh rằng điểm \( C \) không nằm trên đường tròn \( ABD \).

1. Ta đã chỉ ra rằng \( A, B, D, E \) nằm trên một đường tròn, có nghĩa là \( A, B, D \) tạo thành một tứ giác mà không chứa \( C \).
2. Nếu \( C \) cũng nằm trên đường tròn \( ABD \), thì góc \( ACB = \angle ADB \), nhưng từ định nghĩa của tam giác cân và tính chất của tứ giác nội tiếp, ta có:
\[
\angle ACB = 90^\circ \quad (\text{do hiều từ góc vuông})
\]

Như vậy:

- Ta đã chứng minh rằng \( C \) không nằm trên đường tròn này, vì trong trường hợp đó, góc \( ACB \) không thể bằng \( ADB \).

**Kết luận: Điểm \( C \) không thuộc cùng một đường tròn với \( A, B, D, E \).**

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh xong yêu cầu của bài toán về sự đồng phận của các điểm.