Để tính giá trị và rút gọn các biểu thức, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Tính giá trị của biểu thức \( P \) khi \( x = 2 \)

Biểu thức \( P \) là:

\[
P = \frac{x^2 + x}{x + 3}
\]

Thay \( x = 2 \) vào biểu thức:

\[
P = \frac{2^2 + 2}{2 + 3} = \frac{4 + 2}{5} = \frac{6}{5}
\]

Vậy \( P = \frac{6}{5} \).

### b) Rút gọn biểu thức \( Q \)

Biểu thức \( Q \) là:

\[
Q = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}
\]

Để rút gọn \( Q \), tìm mẫu số chung là \((x - 1)(x + 1)\):

\[
Q = \frac{(x + 1) + (x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{2x}{x^2 - 1}
\]

Vậy biểu thức \( Q \) sau khi rút gọn là:

\[
Q = \frac{2x}{x^2 - 1}
\]

### c) Đặt \( M = P \cdot Q \) và tìm các giá trị của \( x \) để \( \left| M \right| = \frac{3}{2} \)

Biểu thức \( M \) là:

\[
M = P \cdot Q = \left(\frac{6}{5}\right) \cdot \left(\frac{2x}{x^2 - 1}\right) = \frac{12x}{5(x^2 - 1)}
\]

Để \(\left| M \right| = \frac{3}{2}\):

\[
\left| \frac{12x}{5(x^2 - 1)} \right| = \frac{3}{2}
\]

Giải phương trình này:

\[
\frac{12x}{5(x^2 - 1)} = \frac{3}{2} \quad \text{hoặc} \quad \frac{12x}{5(x^2 - 1)} = -\frac{3}{2}
\]

**Phương trình 1:**

\[
12x = \frac{15}{2}(x^2 - 1)
\]
\[
24x = 15(x^2 - 1)
\]
\[
15x^2 - 24x - 15 = 0
\]

Giải nghiệm thức:

\[
D = (-24)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-15) = 576 + 900 = 1476
\]
\[
x = \frac{24 \pm \sqrt{1476}}{2 \cdot 15} = \frac{24 \pm 6\sqrt{41}}{30}
\]

### d) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( M \) với \( x \in \mathbb{N} \)

Từ các giá trị tìm được trong phần c), kiểm tra các giá trị tự nhiên của \( x \) để tìm giá trị nhỏ nhất của \( M \) cho \( x \in \mathbb{N} \).

Trước tiên, kiểm tra với các giá trị \( x = 1, 2, 3, ... \)

- Làm việc cụ thể cho từng giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất dựa vào \( M = P \cdot Q \).

Tùy vào phép tính đã làm ở trên, bạn có thể kiểm tra từng giá trị để xác định giá trị nhỏ nhất cho \( M \).