Để chứng minh đẳng thức:

\[
\frac{1 - 2\cos^2 \alpha}{1 + 2\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}
\]

ta có thể làm theo các bước sau:

### Bước 1: Chuyển đổi biểu thức bên trái
Biểu thức bên trái có thể được viết lại như sau:

\[
1 - 2\cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \quad (\text{vì } \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha)
\]

Vậy,

\[
1 - 2\cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha
\]

### Bước 2: Tính biểu thức dưới mẫu
Biểu thức ở mẫu là:

\[
1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 + \sin(2\alpha)
\]

### Bước 3: Biểu thức bên phải
Ta có:

\[
\sin \alpha - \cos \alpha
\]
và
\[
\sin \alpha + \cos \alpha
\]

### Bước 4: Thay thế và đơn giản
Thay thế vào biểu thức ban đầu và thực hiện các phép biến đổi với các hàm lượng giác. Dùng đồng nhất thức:

\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]

Từ đây, bạn sẽ đi tới được kết quả cần chứng minh bằng cách làm quen với các biến đổi nguyên thủy.

### Kết luận
Sau khi thực hiện các phép biến đổi, nếu bạn thực hiện đúng, bạn sẽ kết thúc với:

\[
\frac{1 - 2\cos^2 \alpha}{1 + 2\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}
\]

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.