Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn:

Để tìm tất cả các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình:

\[ 25x^2y^2 + 10x^2y + 25xy^2 + x^2 + 30xy + 2y^2 + 5x + 7y + 6 = 0 \]

ta có thể tiến hành như sau:

1. **Tổ hợp và phân tích phương trình**: Ta cố gắng nhóm các hạng tử lại với nhau và phân tích.

2. **Thay thế giá trị \(y\)**: Thử lần lượt các giá trị nguyên cho \(y\) từ một khoảng nào đó (ví dụ từ -10 đến 10) và giải phương trình bậc hai theo \(x\).

3. **Giải phương trình bậc hai**: Với mỗi giá trị của \(y\), chuyển phương trình thành dạng bậc hai cho \(x\) và áp dụng định lý delta (\(\Delta\)) để tìm nghiệm.

4. **Kiểm tra nghiệm**: Kiểm tra xem các nghiệm tìm được có phải là số nguyên hay không.

Dưới đây là một số bước cụ thể hơn:

### Bước 1: Thay giá trị cho \(y\)

Ta sẽ thử với các giá trị của \(y\) như sau:

- Nếu \(y = 0\):
\[
25x^2 + 0 + 0 + x^2 + 0 + 0 + 5x + 0 + 6 = 0 \rightarrow 26x^2 + 5x + 6 = 0
\]

Tính delta:
\(\Delta = 5^2 - 4 \cdot 26 \cdot 6 < 0 \) (không có nghiệm thực).

- Nếu \(y = -1\):
\[
25x^2 + 10x + 25x^2 + x^2 - 30x + 2 + 5x - 7 + 6 = 0
\]
Đơn giản hóa và tìm nghiệm.

Tiếp tục thử cho các giá trị tiếp theo cho \(y\) (từ -10 đến 10) và kiểm tra từng trường hợp.

### Bước 2: Ghi lại các nghiệm

Sau khi thực hiện với các giá trị \(y\), ta sẽ có các cặp nghiệm \((x, y)\) thỏa mãn phương trình.

Cuối cùng, hãy tổng hợp lại tất cả các cặp \((x, y)\) tìm được.

### Lưu ý

- Có thể sử dụng máy tính hoặc phần mềm để giải phương trình một cách nhanh chóng và chính xác hơn.
- Cần kiểm tra kỹ các trường hợp để chắc chắn không bỏ sót nghiệm nào.