Không thực hiện phép tính, xét xem biểu thức sau có chia hết cho 3 hay không? Vì sao?

Để xem biểu thức \(1 + 5 + 9 + 13 + \ldots + 861\) có chia hết cho 3 hay không, trước tiên, ta cần xác định các số hạng trong dãy số mà biểu thức này tạo ra.

Dãy số này là một cấp số cộng với:
- Số hạng đầu tiên \(a = 1\)
- Công bội \(d = 4\)

Công thức tổng quát cho số hạng thứ \(n\) của cấp số cộng là:
\[
a_n = a + (n - 1)d
\]
Thay vào công thức, ta có:
\[
a_n = 1 + (n - 1) \cdot 4 = 4n - 3
\]
Chúng ta cần tìm giá trị \(n\) sao cho \(a_n = 861\):
\[
4n - 3 = 861 \Rightarrow 4n = 864 \Rightarrow n = 216
\]
Như vậy, trong biểu thức có tổng cộng 216 số hạng.

Tiếp theo, ta sẽ tìm tổng các số hạng này:
\[
S = 1 + 5 + 9 + 13 + \ldots + 861
\]
Công thức tổng của dãy số cấp số cộng là:
\[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)
\]
Trong đó \(l\) là số hạng cuối cùng.

Ở đây, \(n = 216\), \(a = 1\) và \(l = 861\):
\[
S_{216} = \frac{216}{2} \cdot (1 + 861) = 108 \cdot 862
\]
Tiếp theo, ta sẽ xác định xem có chia hết cho 3 hay không. Để làm được như vậy, ta cần kiểm tra từng phần của biểu thức.

- Đầu tiên, kiểm tra \(862\):
\[
862 \div 3 = 287\text{ dư }1
\]
Vì vậy, \(862\) không chia hết cho 3.

- Thứ hai, kiểm tra \(108\):
\[
108 \div 3 = 36\text{ dư }0
\]
Tức là, \(108\) chia hết cho 3.

Khi tổng \(S\) được tính bằng tích của \(108\) và \(862\) (\(S = 108 \cdot 862\)), chúng ta sẽ xét trường hợp:

\(S\) có chia hết cho 3 nếu \(S\) sẽ phụ thuộc vào bội số chung của \(108\) và \(862\):
- \(108\) là bội số của 3.
- \(862\) không chia hết cho 3.

Do đó, \(S\) (tổng của dãy số) sẽ không chia hết cho 3.

Tóm lại, tổng \(1 + 5 + 9 + 13 + \ldots + 861\) không chia hết cho 3.