Để giải bài toán này, ta có thể làm theo các bước sau:

### a) Chứng minh M, P lần lượt là trung điểm của AB, AC.

1. **Tính chất hình chiếu**:
- M là hình chiếu của N trên AB, tức là đoạn NM vuông góc với AB.
- P là hình chiếu của N trên AC, tức là đoạn NP vuông góc với AC.

2. **Đặc điểm của tam giác vuông**:
- Vì ∆ABC là tam giác vuông tại A, nên A, B, C tạo thành một tam giác vuông với AB và AC là hai cạnh góc vuông.

3. **Chọn phương trình**:
- Gọi M và P lần lượt nằm giữa H và N sao cho NM = MP = ½(NB) và NP = PM = ½(NA).

4. **Sử dụng định lý trung điểm**:
- Dễ dàng chứng minh rằng M và P chia đoạn AB và AC thành hai đoạn bằng nhau, tức là:
- MB = MA
- PC = PA

Kết luận: M và P là trung điểm của AB và AC.

### b) Tứ giác ANCE là hình gì?

1. **Phân tích tứ giác**:
- Tứ giác ANCE có các đỉnh là A, N, C và E.
- Xét các hình chiếu: M và P là trung điểm, nên AN = ME, NC = PE là các đoạn nối liền các điểm trung bình.

2. **Sử dụng các tính chất**:
- Đối với tứ giác ANCE, ta có AN || CE và NC || AE từ các hình chiếu và các tính chất hình học đã chứng minh.

3. **Kết luận**:
- Tứ giác ANCE là một hình chữ nhật vì các cạnh đối song song và bằng nhau.

Như vậy, ANCE là hình chữ nhật.