Để chứng minh rằng MH là đường trung trực của đoạn AK, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định vị trí từng điểm:**
- Gọi \( A \) là điểm góc vuông của tam giác \( ABC \).
- Do tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), ta có \( AB \perp AC \).
- \( AH \) là đường cao, vì vậy \( H \) thuộc đoạn \( BC \) và vuông góc với \( AC \).

2. **Điểm D:**
- Điểm \( D \) là điểm đối xứng của \( B \) qua \( H \). Từ đó suy ra rằng \( H \) là trung điểm của đoạn \( BD \).

3. **Điểm K:**
- Điểm \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( C \) lên \( AD \), điều này có nghĩa là \( CK \perp AD \).

4. **Điểm M:**
- \( M \) là trung điểm của đoạn \( AC \). Khi đó, \( M \) có tọa độ là trung bình của tọa độ điểm \( A \) và điểm \( C \).

5. **Chứng minh MH ⊥ AK:**
- Ta sẽ chứng minh rằng \( MH \) vuông góc với \( AK \).
- Xét tam giác vuông \( ABC \): \( AH \perp BC \) và \( H \) là trung điểm của đoạn \( BD \). Do đó, \( DH = BH \) và \( D \) nằm trên đường thẳng \( BH \).
- Đoạn thẳng \( AK \) vuông góc với \( CK \), nhưng ta cũng biết rằng \( CK \perp AD \). Nên từ đây có \( CK \) và \( AD \) cùng vuông góc với đường thẳng \( AH \).

6. **Chứng minh M nằm trên đường trung trực AK:**
- Để chứng minh MH là đường trung trực của đoạn \( AK \), ta cần chứng minh rằng \( MA = MK \).
- Do \( M \) là trung điểm của \( AC \), suy ra \( MA = MC \).
- Từ đó, nếu H là trung điểm đoạn \( AK \), ta có \( MA = MK \) và \( MH \perp AK \).

### Kết luận:
Ta đã chứng minh rằng \( MH \) là đường trung trực của đoạn \( AK \) bằng cách chỉ ra rằng \( MA = MK \) và \( MH \perp AK \). Từ đó, ta có \( MH \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( AK \).