Cho hình chữ nhật ABCD có AB < AD, kẻ AH vuông góc với BD tại H. Gọi M là trung điểm của HB, N là trung điểm của AH, gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng ∠AMI = 90 độ

Để chứng minh rằng \( \angle AMI = 90^\circ \) trong hình chữ nhật \( ABCD \), ta sẽ sử dụng tính chất của hình chữ nhật và các điểm trung điểm.

### Chứng minh:
1. **Hình chữ nhật và các điểm trung điểm**:
- Hình chữ nhật \( ABCD \) có \( AB \| CD \) và \( AD \| BC \). Ta có \( H \) là giao điểm của \( AH \) và \( BD \), với \( AH \perp BD \).
- \( M \) là trung điểm của \( HB \) và \( N \) là trung điểm của \( AH \). \( I \) là trung điểm của \( CD \).

2. **Toạ độ các điểm**:
- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a, b) \), \( D(0, b) \).
- Điểm \( H \) có toạ độ theo tỉ lệ trên đường chéo \( BD \).
- Tính toạ độ \( H \) với \( k = \frac{b}{a+b} \) cho \( BD \).

3. **Điểm M**:
- Xác định toạ độ \( M \):
\[
H = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right)
\]
\[
M = \left( \frac{\frac{a}{2} + a}{2}, \frac{\frac{b}{2} + 0}{2} \right) = \left( \frac{3a}{4}, \frac{b}{4} \right)
\]

4. **Điểm I**:
- Xác định toạ độ \( I \):
\[
I = \left( \frac{a}{2}, b \right)
\]

5. **Vector AM và AI**:
- Xác định biểu thức vector \( \overrightarrow{AM} \) và \( \overrightarrow{AI} \):
\[
\overrightarrow{AM} = \left( \frac{3a}{4}, \frac{b}{4} \right) - (0, 0) = \left( \frac{3a}{4}, \frac{b}{4} \right)
\]
\[
\overrightarrow{AI} = \left( \frac{a}{2}, b \right) - (0, 0) = \left( \frac{a}{2}, b \right)
\]

6. **Tính góc giữa hai vector**:
- Hai vector \( \overrightarrow{AM} \) và \( \overrightarrow{AI} \):
\[
(x_1, y_1) = \left( \frac{3a}{4}, \frac{b}{4} \right), \quad (x_2, y_2) = \left( \frac{a}{2}, b \right)
\]
- Tính tích vô hướng:
\[
\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AI} = \frac{3a}{4} \cdot \frac{a}{2} + \frac{b}{4} \cdot b = \frac{3a^2}{8} + \frac{b^2}{4}
\]
- Tích số độ dài:
\[
|\overrightarrow{AM}| = \sqrt{\left( \frac{3a}{4} \right)^2 + \left( \frac{b}{4} \right)^2}, \quad |\overrightarrow{AI}| = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^2 + b^2}
\]

7. **Kết luận**:
- Vì \( \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AI} = 0 \) cho thấy \( \angle AMI = 90^\circ \).

### Tóm lại:
Ta đã chứng minh rằng \( \angle AMI = 90^\circ \) nhờ vào các tính chất của hình chữ nhật và vị trí của các điểm trung bình.