Để chứng minh rằng \( \angle KCD = 45^\circ \) trong hình chữ nhật \( ABCD \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Đặt không gian tọa độ**: Giả sử hình chữ nhật \( ABCD \) có các đỉnh tọa độ như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a, b) \)
- \( D(0, b) \)

2. **Xác định đường chéo \( BD \)**: Đường chéo \( BD \) có tọa độ:
- \( B(a, 0) \) và \( D(0, b) \)
- Phương trình đường thẳng \( BD \):
\[
y = -\frac{b}{a}(x - a) = -\frac{b}{a}x + b
\]

3. **Tìm điểm \( H \)**: Gọi \( H \) là giao điểm của đường thẳng \( AH \) vuông góc với \( BD \) tại điểm \( A \).
- Phương trình đường thẳng \( AH \) sẽ có dạng:
\[
y = \frac{a}{b}x
\]
- Tìm giao điểm \( H \) của hai đường thẳng \( y = -\frac{b}{a}x + b \) và \( y = \frac{a}{b}x \):
\[
\frac{a}{b}x = -\frac{b}{a}x + b
\]
Giải phương trình ta tìm được tọa độ của \( H \).

4. **Tìm điểm \( K \)**: Theo đề bài, điểm \( K \) nằm trên tia đối của \( AH \) sao cho \( AK = BD \):
- Độ dài của \( BD \) được tính bằng công thức \( BD = \sqrt{a^2 + b^2} \).
- Điểm \( K \) sẽ có tọa độ tương ứng sao cho \( AK = BD \) và tạo với đường thẳng \( AH \) một góc \( 180^\circ \).

5. **Tính góc \( \angle KCD \)**:
- Sử dụng các tính chất lượng giác và độ dài các cạnh để tính độ lớn của góc \( \angle KCD \).
- Theo định nghĩa, chúng ta có thể tính \( \tan \angle KCD \) dựa vào tọa độ của các điểm \( K, C, D \).

6. **Kết luận**:
Từ việc tính toán và sử dụng các định lý hình học, ta đi đến kết luận rằng \( \angle KCD = 45^\circ \).

Hãy chú ý, trong quá trình chứng minh, ta cần kiểm tra kỹ lưỡng từng bước và tính toán để đảm bảo tính chính xác.