Để chứng minh rằng tích \((p - 1)(p + 1)\) luôn chia hết cho 24 với \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3, trước hết chúng ta nhận thấy rằng \(p\) là số nguyên tố và do đó \(p\) sẽ là số lẻ (vì các số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ).

1. **Xét hai số liên tiếp:** Khi \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3, ta có:
\[
p - 1 \quad \text{và} \quad p + 1
\]
Là hai số chẵn liên tiếp. Nghĩa là, một trong hai số này sẽ chia hết cho 4 (tại vì mỗi hai số chẵn sẽ có một số chia hết cho 4).

2. **Xét số nguyên tố:** Bên cạnh đó, một trong hai số \((p - 1)\) hoặc \((p + 1)\) sẽ chia hết cho 2. Như vậy, tổng thể ta có:
- Một số trong \((p - 1), (p + 1)\) chia hết cho 4 (từ điều kiện số chẵn),
- Một số trong \((p - 1), (p + 1)\) luôn chia hết cho 2.

3. **Chia hết cho 3:** Bây giờ, ta cần chứng minh rằng \( (p - 1)(p + 1) \) cũng chia hết cho 3. Vì \(p\) là số nguyên tố và lớn hơn 3, thì \(p\) sẽ không chia hết cho 3, do đó \(p\) sẽ có một trong ba trường hợp:
- \(p \equiv 1 \mod 3\) dẫn đến \(p - 1 \equiv 0 \mod 3\)
- \(p \equiv 2 \mod 3\) dẫn đến \(p + 1 \equiv 0 \mod 3\)

Như vậy, trong mọi trường hợp, ít nhất một trong \((p - 1)\) hoặc \((p + 1)\) sẽ chia hết cho 3.

4. **Kết hợp kết quả:** Từ các phân tích trên, ta có:
- \((p - 1)(p + 1)\) chia hết cho 4
- \((p - 1)(p + 1)\) chia hết cho 2
- \((p - 1)(p + 1)\) chia hết cho 3

Do đó, ta có:
\[
(p - 1)(p + 1) \text{ chia hết cho } 4 \times 2 \times 3 = 24.
\]

Kết luận, ta đã chứng minh rằng tích \((p - 1)(p + 1)\) luôn chia hết cho 24 với \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3.