Để giải bài toán, chúng ta có thể dùng ký hiệu:

- \( n \): số trẻ em
- \( m \): số cô giáo

1. Nếu chia thành nhóm 6 cháu, thì có 4 cháu không có ai phụ trách. Vậy, tổng số cô giáo sẽ là \( \frac{n - 4}{6} \).
2. Nếu chia thành nhóm 8 cháu, thì sẽ thừa một cô. Trong trường hợp này, số cô giáo là \( \frac{n}{8} + 1 \).

Từ hai biểu thức trên, ta có phương trình:

\[
\frac{n - 4}{6} = \frac{n}{8} + 1
\]

Giải phương trình:

1. Nhân toàn bộ phương trình với 24 (bội chung của 6 và 8) để loại bỏ mẫu:

\[
4(n - 4) = 3n + 24
\]

2. Mở ngoặc và sắp xếp lại:

\[
4n - 16 = 3n + 24
\]

\[
4n - 3n = 24 + 16
\]

\[
n = 40
\]

3. Thay vào một trong hai biểu thức để tìm \( m \):

\[
m = \frac{n - 4}{6} = \frac{40 - 4}{6} = \frac{36}{6} = 6
\]

Vậy, nhà trẻ có 40 cháu và 6 cô giáo.