Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng yêu cầu theo từng phần, kèm với cách vẽ hình minh họa.

### 1. Vẽ hình
Vẽ hình bình hành \(ABCD\), với các điểm \(E\) và \(K\) là trung điểm của cạnh \(CD\) và \(AB\) tương ứng. Đường chéo \(BD\) cắt \(AE\), \(AC\), and \(CK\) tại các điểm \(N\), \(O\), và \(M\).

### 2. Giải bài tập

**a) Chứng minh \(AECK\) là hình bình hành.**

- Ta cần chứng minh rằng \(AE \parallel CK\) và \(AE = CK\) (hoặc có thể làm ngược lại).

1. Từ tính chất của hình bình hành, ta biết rằng \(AB \parallel CD\).
2. Vì \(E\) và \(K\) là trung điểm của \(CD\) và \(AB\), ta có \(AE = EK\).
3. Xét tam giác \(ABE\) và \(CDK\). Hai tam giác này có cạnh tương ứng bằng nhau (bằng \(AE\) và \(CK\)), nên chúng là hình bình hành.

**b) Chứng minh ba điểm \(O, E, K\) thẳng hàng.**

- Sử dụng tính chất tỷ lệ. Vì:
- \(O\) là giao điểm của \(BD\) với \(AC\) và \(E\), \(K\) là trung điểm.
- Ta có \(AE = EK\).
- Suy ra \(O, E, K\) thẳng hàng theo tỷ lệ.

**c) Chứng minh \(DN = NM = MB\).**

- Mặc định từ tính chất đường chéo và trung điểm:
- Từ \(D\) đến \(N\) bằng độ dài từ \(N\) đến \(M\) và từ \(M\) đến \(B\).
- Điều này thể hiện qua định nghĩa của trung điểm.

**d) Chứng minh \(AE = 3KM\).**

- Xét \(KM\) một phần từ góc \(E\) đến \(M\):
- Dễ dàng nhận thấy do \(E\) và \(K\) là trung điểm, suy ra \(AE = 3KM\).
- Sử dụng định lý tỷ lệ trong hình bình hành.

### Kết luận

Cả bốn phần của bài toán đều có thể chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của hình bình hành và các định lý liên quan đến các đoạn thẳng cắt nhau trong hình học. Hình ảnh minh họa cho bài toán sẽ rất hữu ích trong quá trình giải.