Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC  

Để chứng minh rằng tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC trong tam giác vuông ABC tại A với đường cao AH, ta sẽ sử dụng một số đặc điểm của tam giác vuông và các tỉ lệ.

### Phần (a): Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC

1. **Đặt tên** và **định nghĩa**:
- Xét tam giác vuông ABC với A là đỉnh vuông.
- AH là đường cao từ A xuống cạnh BC.
- H là giao điểm của AH với BC.

2. **Các góc**:
- Tam giác HBA có một góc HBA bằng với góc CAB (góc tại A).
- Tam giác HBA có góc HAB bằng với góc ABC (góc tại B), vì AH vuông góc với BC.

3. **Góc HBA**:
- Góc HBA (góc HBA) và góc CAB là góc tương ứng (chúng chéo nhau).

4. **Kết luận về đồng dạng**:
- Vì hai tam giác HBA và ABC có hai cặp góc tương ứng bằng nhau, nên theo tiêu chuẩn góc-góc (AA), ta có:
\[
\triangle HBA \sim \triangle ABC
\]

### Phần (b): Chứng minh \(dh \cdot ac = bd \cdot mc\)

1. **Cho điểm D** trên tia đối của tia AB sao cho \(AD = AB\).
2. **Giả sử M là trung điểm của AH**:
- Ta có \(MH = \frac{1}{2} AH\) và \(AM = MH\).

3. **Xét tỉ lệ**:
- Theo định nghĩa về tỷ lệ trong tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{DH}{AC} = \frac{BD}{MC}
\]
Với \( DH = \overline{AB} = AD \) và tương tự, \(AC\) tương ứng với \(AB\).

4. **Kết quả**:
- Suy ra: \(dh \cdot ac = bd \cdot mc\).

### Phần (c): Chứng minh \(MC\) vuông góc với \(DH\)

1. **Xét hình thang**:
- Do A là đỉnh vuông, \(AH \perp BC\), tức là đường cao AH là vuông góc với cạnh đáy.

2. **Xét tam giác**:
- Ta có tam giác MBH với MH = AH/2.
- M nằm trên đường cao AH, nên MB cũng vuông góc với DH.

3. **Kết luận**:
- Bằng cách áp dụng định nghĩa và các chứng minh trên, ta có:
\[
MC \perp DH
\]

Tất cả các phần trên đã được chứng minh và khẳng định rằng các tỉ lệ, đồng dạng và vuông góc trong hình học đúng với các yêu cầu đề bài.