Cho phương trình:  x^2 - 4x + m + 1 = 0 (1), với  m  là tham số. Tìm các giá trị của  m  để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 - x2)^2 = 4 

Để giải bài toán này, chúng ta có phương trình bậc hai:

\[
x^2 - 4x + m + 1 = 0
\]

Chúng ta cần tìm giá trị của \(m\) để phương trình này có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\) thỏa mãn điều kiện:

\[
(x_1 - x_2)^2 = 4
\]

1. **Tính thức nghiệm**: Thứ nhất, theo công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{D}}{2}
\]

Với \(D = b^2 - 4ac = 16 - 4(m + 1) = 16 - 4m - 4 = 12 - 4m\).

2. **Điều kiện có hai nghiệm**: Để phương trình có hai nghiệm, \(D\) phải dương:

\[
12 - 4m > 0 \implies 12 > 4m \implies 3 > m
\]

3. **Khoảng cách giữa hai nghiệm**: Từ điều kiện \( (x_1 - x_2)^2 = 4 \), ta có:

\[
\frac{\sqrt{D}}{a} = 2 \implies \sqrt{D} = 4
\]

Từ đó, ta có:

\[
D = 16 \implies 12 - 4m = 16 \implies -4m = 4 \implies m = -1
\]

4. **Kiểm tra điều kiện**: Với \(m = -1\):

\[
D = 12 - 4(-1) = 12 + 4 = 16 \quad (\text{D > 0, có hai nghiệm})
\]

Kết luận: Giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\) thỏa mãn điều kiện là \(m = -1\).