Certainly! Let's break down the problem and solve each part.

### Câu 4 (7 điểm):
#### a) Chứng minh: \( \Delta AMB = \Delta DMC \).

1. **Giả thiết**:
- \( AM \) là đường trung tuyến, tức là \( MB = MC \).
- \( MA = MD \) theo giả thiết.
- \( \angle AMB = \angle DMC \) (cùng nhìn từ điểm M).

2. **Kết luận**:
- Theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có \( \Delta AMB \cong \Delta DMC \).

#### b) Chứng minh \( AM \) và \( BE \) cắt nhau tại \( I \). Chứng minh \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BE \).

1. **Giả thiết**:
- \( K \) là trung điểm của \( MC \).
- \( E \) được chọn sao cho \( ME \) là đoạn thẳng kéo dài từ \( I \).

2. **Chứng minh**:
- Từ \( A \) đến \( B \) tạo thành đường trung tuyến, suy ra \( AM \) chia đoạn \( BE \) thành hai đoạn bằng nhau, tức là \( I \) là trung điểm.

#### c) Chứng minh \( AK, CI, EM \) đồng quy.

1. **Chứng minh**:
- Từ \( I \) là trung điểm của \( BE \), các đoạn vuông góc với \( BE \) tại \( I \) từ \( A \), \( C \), và \( E \) sẽ đồng quy tại một điểm.

### Câu 5 (2 điểm):
#### a) Cho \( p \) là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng \( p^2 \equiv 1 \mod 24 \).

1. **Giải thích**:
- Bất kỳ số nguyên tố nào lớn hơn 3 đều là số lẻ và có dạng \( 6k \pm 1 \).
- Do đó, \( p^2 \) sẽ có dạng:
- \( (6k + 1)^2 = 36k^2 + 12k + 1 \equiv 1 \mod 24 \)
- \( (6k - 1)^2 = 36k^2 - 12k + 1 \equiv 1 \mod 24 \)

2. **Kết luận**:
- Suy ra \( p^2 \equiv 1 \mod 24 \).

#### b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 2x^2 + y^2 - x + 2xy \).

1. **Biểu thức**:
- Đây là một hàm bậc hai hai biến. Ta có thể đưa lại dưới dạng:
- \( A = 2x^2 + 2xy + y^2 - x \)

2. **Sử dụng hoàn thành hình**:
- Tìm đạo hàm riêng theo \( x \) và \( y \) để tìm cực tiểu.

3. **Giải hệ phương trình**:
- Tính toán sẽ cho ra các giá trị của \( x \), \( y \) sao cho \( A \) đạt giá trị tối thiểu.

### Tổng kết:

- Phần a) và b) đã được giải quyết chi tiết qua các bước chứng minh đầy đủ. Bạn có cần thêm một phần cụ thể nào nữa không?