Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 2x^2 + y^2 - x + 2xy \), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc phương pháp hoàn thành bình phương.

### Bước 1: Viết lại biểu thức
Ta có thể nhóm lại các hạng tử:

\[
A = 2x^2 + 2xy + y^2 - x
\]

### Bước 2: Hoàn thành bình phương
Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \):

\[
A = 2\left(x^2 + xy\right) + y^2 - x
\]

### Bước 3: Tìm giá trị đạo hàm
Đạo hàm riêng theo \( x \):

\[
\frac{\partial A}{\partial x} = 4x + 2y - 1
\]

Đạo hàm riêng theo \( y \):

\[
\frac{\partial A}{\partial y} = 2y + 2x
\]

### Bước 4: Giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0
1. \( 4x + 2y - 1 = 0 \)
2. \( 2y + 2x = 0 \)

Từ phương trình (2), ta có \( y = -x \). Thay vào phương trình (1):

\[
4x + 2(-x) - 1 = 0 \implies 4x - 2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}
\]

### Bước 5: Tìm \( y \)
Từ \( y = -x \):

\[
y = -\frac{1}{2}
\]

### Bước 6: Tính giá trị của \( A \)
Thay \( x = \frac{1}{2} \) và \( y = -\frac{1}{2} \) vào biểu thức \( A \):

\[
A = 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 2\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)
\]

\[
= 2\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}
\]
\[
= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}
\]
\[
= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}
\]

### Kết luận
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là \( -\frac{3}{4} \).