Để giải bài toán, trước hết ta gọi chiều cao của hình tam giác là \( h \) và cạnh đáy là \( b \).

Theo đề bài, ta có:
\[
b = \frac{4}{7}h
\]

Diện tích của hình tam giác là:
\[
S = \frac{1}{2} \times b \times h = \frac{1}{2} \times \frac{4}{7}h \times h = \frac{2}{7}h^2
\]

Khi kéo dài cạnh đáy thêm 3 cm, cạnh đáy mới là:
\[
b' = b + 3 = \frac{4}{7}h + 3
\]

Diện tích mới của hình tam giác là:
\[
S' = \frac{1}{2} \times (b + 3) \times h = \frac{1}{2} \times \left(\frac{4}{7}h + 3\right) \times h
\]

Theo đề bài, diện tích hình tam giác tăng thêm 30 cm², tức là:
\[
S' - S = 30
\]

Ta tính:
\[
S' - S = \frac{1}{2} \times \left(\frac{4}{7}h + 3\right)h - \frac{2}{7}h^2
\]
\[
= \frac{1}{2} \times \left(\frac{4}{7}h^2 + 3h\right) - \frac{2}{7}h^2
\]
\[
= \frac{2}{7}h^2 + \frac{3}{2}h - \frac{2}{7}h^2
\]
\[
= \left(\frac{2}{7} - \frac{2}{7}\right)h^2 + \frac{3}{2}h = \frac{3}{2}h
\]

Ta có phương trình:
\[
\frac{3}{2}h = 30
\]

Giải phương trình trên, ta tìm được:
\[
h = 20
\]

Từ đó, bây giờ ta tính cạnh đáy:
\[
b = \frac{4}{7}h = \frac{4}{7} \times 20 = \frac{80}{7} \text{ cm}
\]

Vậy diện tích của hình tam giác là:
\[
S = \frac{1}{2} \times b \times h = \frac{1}{2} \times \frac{80}{7} \times 20 = \frac{800}{7} \text{ cm}^2
\]

Do đó, diện tích của hình tam giác đó là:
\[
S \approx 114.29 \text{ cm}^2
\]