Để giải bài toán này, ta tiến hành theo từng phần:

### a) Giải hệ phương trình khi \( m = 4 \):

Khi thay \( m = 4 \) vào phương trình \( x^2 - mx + m - 1 = 0 \), ta có:

\[
x^2 - 4x + 4 - 1 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0
\]

Phương trình này có dạng:

\[
x^2 - 4x + 3 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4
\]

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt. Tính nghiệm ta có:

\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 \pm 2}{2} = \{3, 1\}
\]

Vậy hai nghiệm của phương trình là \( x_1 = 3 \) và \( x_2 = 1 \).

### b) Tìm các giá trị của \( m \) để phương trình có hai nghiệm \( x_1, x_2 \) thỏa mãn:

\[
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{2011}{m}
\]

Từ Vieta, ta có:

- \( x_1 + x_2 = m \)
- \( x_1 x_2 = m - 1 \)

Thay vào biểu thức:

\[
\frac{m}{m - 1} = \frac{2011}{m}
\]

Giải phương trình này:

1. Nhân chéo:
\[
m^2 = 2011(m - 1)
\]
\[
m^2 = 2011m - 2011
\]
\[
m^2 - 2011m + 2011 = 0
\]

2. Tính Δ:
\[
\Delta = (-2011)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2011 = 4044121 - 8044 = 4046077
\]

3. Tính nghiệm:
\[
m = \frac{2011 \pm \sqrt{4046077}}{2}
\]

Cuối cùng, xét nghiệm trong hàm trên để xác định giá trị của \( m \). Các giá trị \( m \) này sẽ là câu trả lời cho bài toán.