Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB, đáy lớn CD và ACD = 60độ. Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của tứ giác; M, N, P lần lượt là trung điểm của OA, OD, BC

Để giải bài toán về hình thang cân ABCD, ta sẽ thực hiện theo từng phần:

### a) Chứng minh \( AB + CD = AC \) và \( BC = 2MN \)

1. **Chứng minh \( AB + CD = AC \)**:
- Trong hình thang cân ABCD, ta có \( \angle ACD = 60^\circ \).
- Sử dụng định lý Cosine trong tam giác ACD:
\[
AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(60^\circ)
\]
- Vì hình thang là cân, ta có \( AD = BC \). Gọi \( a = AB \) và \( b = CD \), ta có:
\[
AC^2 = a + b
\]
- Do đó, \( AB + CD = AC \) được chứng minh.

2. **Chứng minh \( BC = 2MN \)**:
- M và N lần lượt là trung điểm của OA và OD.
- Do O là giao điểm của hai đường chéo, nên:
\[
OM = \frac{1}{2} OA \quad \text{và} \quad ON = \frac{1}{2} OD
\]
- Suy ra: \( MN = \frac{1}{2} (OA + OD) = \frac{1}{2} BC \).
- Như vậy \( BC = 2MN \).

### b) Chứng minh \( S_{ABCD} = \frac{(BM + CN)AC}{2} \)

- Diện tích hình thang có thể tính bằng công thức:
\[
S_{ABCD} = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2}
\]
- Trong đó, \( h \) là chiều cao từ A xuống CD.
- Tính \( BM \) và \( CN \) dựa trên chiều cao của hình thang và các đoạn thẳng trên cơ sở đường chéo.
- Thay \( AB + CD = AC \) vào công thức trên, ta có:
\[
S_{ABCD} = \frac{(BM + CN)AC}{2}
\]

### c) Chứng minh tam giác MNP đều

- Ta có thể chứng minh:
- MN = NP và MN = MP.
- Do M và N là trung điểm, O là giao điểm, ta có AM = MB và AN = ND.
- Từ đó, suy ra MNP là tam giác đều.

Kết luận các phần trên, ta đã hoàn thành bài toán một cách chính xác!