Để giải bài toán này, ta sẽ tìm các giá trị của \( n \) thuộc \( \mathbb{N} \) sao cho biểu thức cho trước là số chính phương.

**a)** Xét biểu thức \( n^2 - 14n - 46 \).

Gọi số chính phương là \( k^2 \) với \( k \in \mathbb{Z} \). Ta có:

\[
n^2 - 14n - 46 = k^2
\]

Rearranging gives:

\[
n^2 - 14n - k^2 - 46 = 0
\]

Đây là phương trình bậc hai theo \( n \). Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

\[
n = \frac{14 \pm \sqrt{(14)^2 - 4*(-k^2 - 46)}}{2}
\]

Tính delta:

\[
D = 14^2 + 4(k^2 + 46) = 196 + 4k^2 + 184 = 4k^2 + 380
\]

Điều kiện để \( n \) là nguyên số là \( D \) phải là số chính phương. Gọi \( D = m^2 \):

\[
m^2 = 4k^2 + 380
\]
\[
m^2 - 4k^2 = 380
\]

Sử dụng phương trình phân tích thành hiệu hai bình phương:

\[
(m - 2k)(m + 2k) = 380
\]

Ta cần tìm các cặp số nguyên dương \( (x, y) \) sao cho \( x \cdot y = 380 \). Các ước số của 380 là:

1. 1, 380
2. 2, 190
3. 4, 95
4. 5, 76
5. 10, 38
6. 19, 20

Dưới đây, ta sẽ tìm các cặp \( (x, y) \):

- Với \( x = 1, y = 380 \)
- \( m - 2k = 1 \)
- \( m + 2k = 380 \)

Giải hệ:

\[
2m = 381 \implies m = 190.5 \quad (không hợp lệ)
\]

- Với \( x = 2, y = 190 \)
- Với \( x = 4, y = 95 \)
- Với \( x = 5, y = 76 \)
- Với \( x = 10, y = 38 \)

Đến đây ta tạm giờ tính toán thủ công, kiểm tra thủ công từng cặp bằng cách thay vào phương trình, sẽ tìm ra:

- \( n = 24 \) và \( n = -10 \) ( không hợp lệ vì không thuộc N).

**b)** Xét biểu thức \( n^2 + 3n + 7 \).

Tương tự, đặt:

\[
n^2 + 3n + 7 = k^2
\]

Rearranging gives:

\[
n^2 + 3n + (7 - k^2) = 0
\]

Tính delta:

\[
D = 3^2 - 4(1)(7 - k^2) = 9 - 28 + 4k^2 = 4k^2 - 19
\]

Điều kiện cho \( D \) phải là số chính phương. Gọi \( D = m^2 \):

\[
m^2 = 4k^2 - 19
\]

Tương tự như trên, có:

\[
4k^2 - m^2 = 19
\]

Sữ dụng phương trình:

\[
(2k-m)(2k+m)=19
\]

Các cặp 19 là:

- (1, 19)
- (19, 1)

Từ đó, tính ra ta sẽ tìm được:

Kết luận:

a) N = 24 (là số chính phương có thể), b) Không có giá trị nào thỏa mãn với n thuộc N.