Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
\frac{5x}{x+1} + \frac{4}{y-3} = 27 \\
\frac{2x}{x+1} - \frac{3}{y-3} = 4
\end{cases}
\]

**Bước 1: Đặt ký hiệu**

Đặt \(a = \frac{1}{y-3}\) và \(b = \frac{1}{x+1}\). Khi đó, hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
5b + 4a = 27 \\
2b - 3a = 4
\end{cases}
\]

**Bước 2: Giải hệ phương trình**

Từ phương trình đầu tiên:

\[
5b + 4a = 27 \quad (1)
\]

Từ phương trình thứ hai:

\[
2b - 3a = 4 \quad (2)
\]

**Bước 3: Giải phương trình (1)**

Từ (1), ta có:

\[
4a = 27 - 5b \implies a = \frac{27 - 5b}{4} \quad (3)
\]

**Bước 4: Thay vào (2)**

Thay (3) vào (2):

\[
2b - 3\left(\frac{27 - 5b}{4}\right) = 4
\]

Giải phương trình:

\[
2b - \frac{81 - 15b}{4} = 4
\]
\[
\Rightarrow 8b - (81 - 15b) = 16
\]
\[
\Rightarrow 8b + 15b - 81 = 16
\]
\[
\Rightarrow 23b = 97 \implies b = \frac{97}{23} = 4.217
\]

**Bước 5: Thay b vào (3) để tìm a**

Từ (3):

\[
a = \frac{27 - 5\left(\frac{97}{23}\right)}{4}
\]
\[
\Rightarrow a = \frac{27 - \frac{485}{23}}{4} = \frac{621 - 485}{92} = \frac{136}{92} = \frac{34}{23}
\]

**Bước 6: Tìm giá trị của \(x\) và \(y\)**

Từ \(b = \frac{1}{x+1}\):

\[
x + 1 = \frac{23}{97} \implies x = \frac{23}{97} - 1 = \frac{-74}{97}
\]

Từ \(a = \frac{1}{y-3}\):

\[
y - 3 = \frac{23}{34} \implies y = 3 + \frac{23}{34} = \frac{102 + 23}{34} = \frac{125}{34}
\]

**Kết luận:**

Giải của hệ phương trình là:

\[
x = \frac{-74}{97}, \quad y = \frac{125}{34}
\]