Để chứng minh rằng \( AN = CM \) trong hình bình hành \( ABCD \) với \( O \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \), và \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( OD \) và \( OB \), ta tiến hành như sau:

**Bước 1:** Xác định các tọa độ các điểm.

Giả sử tọa độ các điểm của hình bình hành như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a + b, c) \)
- \( D(b, c) \)

**Bước 2:** Xác định tọa độ điểm \( O \).

Diện tích của hai đường chéo trong hình bình hành chia thành 4 tam giác bằng nhau. Tọa độ điểm \( O \) là trung điểm của cả hai đường chéo \( AC \) và \( BD \).

Tọa độ của \( O \):
\[
O = \left( \frac{0 + (a + b)}{2}, \frac{0 + c}{2} \right) = \left( \frac{a + b}{2}, \frac{c}{2} \right)
\]

**Bước 3:** Tính tọa độ các điểm \( M \) và \( N \).

- **Tọa độ \( M \)** (trung điểm của \( OD \)):
\[
M = \left( \frac{O_x + D_x}{2}, \frac{O_y + D_y}{2} \right) = \left( \frac{\frac{a + b}{2} + b}{2}, \frac{\frac{c}{2} + c}{2} \right) = \left( \frac{a + 3b}{4}, \frac{3c}{4} \right)
\]

- **Tọa độ \( N \)** (trung điểm của \( OB \)):
\[
N = \left( \frac{O_x + B_x}{2}, \frac{O_y + B_y}{2} \right) = \left( \frac{\frac{a + b}{2} + a}{2}, \frac{\frac{c}{2} + 0}{2} \right) = \left( \frac{3a + b}{4}, \frac{c}{4} \right)
\]

**Bước 4:** Tính độ dài \( AN \) và \( CM \).

- **Độ dài \( AN \)**:
\[
AN = \sqrt{ \left( \frac{3a + b}{4} - 0 \right)^2 + \left( \frac{c}{4} - 0 \right)^2 } = \sqrt{ \left( \frac{3a + b}{4} \right)^2 + \left( \frac{c}{4} \right)^2 }
\]
\[
AN = \frac{1}{4} \sqrt{(3a + b)^2 + c^2}
\]

- **Độ dài \( CM \)**:
\[
CM = \sqrt{ \left( \frac{a + 3b}{4} - (a + b) \right)^2 + \left( \frac{3c}{4} - c \right)^2 } = \sqrt{ \left( \frac{-3a + b}{4} \right)^2 + \left( \frac{-c}{4} \right)^2 }
\]
\[
CM = \frac{1}{4} \sqrt{(-3a + b)^2 + c^2}
\]

**Bước 5:** So sánh \( AN \) và \( CM \).

Ta cần chứng minh \( AN = CM \) tức là:
\[
\sqrt{(3a + b)^2 + c^2} = \sqrt{(-3a + b)^2 + c^2}
\]

Hai bình phương này cùng bằng nhau nếu và chỉ nếu:
\[
(3a + b)^2 = (-3a + b)^2
\]
Chúng ta có:
\[
(3a + b)^2 - (-3a + b)^2 = 0
\]
\[
9a^2 + 6ab + b^2 - (9a^2 - 6ab + b^2) = 0
\]
\[
12ab = 0
\]
Giả sử \( ab \neq 0 \) thì \( a = 0 \) hoặc \( b = 0 \) mà không phù hợp.

Vậy \( AN = CM \).

**Kết luận:** Đã chứng minh rằng \( AN = CM \).