Để tìm \( x \) trong phương trình \( 9x^2 - 1 = (3x + 1)(x - 3) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Giải phương trình bên phải**:
\[
(3x + 1)(x - 3) = 3x^2 - 9x + x - 3 = 3x^2 - 8x - 3
\]

2. **Thay vào phương trình**:
\[
9x^2 - 1 = 3x^2 - 8x - 3
\]

3. **Chuyển tất cả các hạng tử về một bên**:
\[
9x^2 - 3x^2 + 8x - 3 + 1 = 0
\]
\[
6x^2 + 8x + (-2) = 0
\]
\[
6x^2 + 8x - 2 = 0
\]

4. **Rút gọn phương trình**:
Chia cả phương trình cho 2:
\[
3x^2 + 4x - 1 = 0
\]

5. **Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai**:
Công thức nghiệm là:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Trong đó \( a = 3 \), \( b = 4 \), \( c = -1 \).

Tính toán:
\[
b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16 + 12 = 28
\]

Vậy:
\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{7}}{3}
\]

6. **Kết quả**:
Nghiệm của phương trình là:
\[
x = \frac{-2 + \sqrt{7}}{3} \quad \text{và} \quad x = \frac{-2 - \sqrt{7}}{3}
\]