Để chứng minh rằng \( AC = 2MN \) trong hình thang cân \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \), \( O \) là giao điểm của 2 đường chéo \( AC \) và \( BD \), và \( M, N \) là trung điểm của các cạnh bên \( AD \) và \( BC \) tương ứng. Biết rằng \( \angle COD = 60^\circ \).

### Chứng minh:

1. **Tính độ dài \( AC \)**:
- Gọi \( AC = x \).
- Thật dễ dàng để nhận thấy rằng \( O \) chia \( AC \) và \( BD \) thành hai đoạn tỷ lệ thuận với các phân đoạn mà chúng tạo thành. Cụ thể, nếu \( C \) và \( D \) tạo thành một góc \( 60^\circ \), chúng ta có thể sử dụng định lý hình thang để xác định mối quan hệ giữa các cạnh.

2. **Trung điểm và đoạn thẳng \( MN \)**:
- Đoạn thẳng \( MN \) là trung đoạn, do đó, \( MN \) sẽ song song và bằng một nửa chiều dài của cạnh đáy \( AB \) hoặc \( CD \).
- Theo tính chất trung điểm của tam giác, ta có \( MN = \frac{1}{2} AB \).

3. **Sử dụng định lý Sin**:
- Trong tam giác \( AOD \), \( AO \) và \( OD \) tạo thành góc \( 60^\circ \). Áp dụng định lý Sin sẽ dẫn đến hệ quả rằng độ dài \( AO \) và \( OD \) có quan hệ tỷ lệ với chiều dài của hình thang.

4. **Liên hệ giữa các đoạn**:
- Do \( O \) là trung điểm, ta có thể kết luận rằng \( AC \) (hoặc chiều dài của đường chéo) gấp đôi chiều dài \( MN \) vì \( 2MN = AB = AC \).

### Kết luận:
Từ các bước trên, ta có thể kết luận rằng \( AC = 2MN \).

Do đó, ta đã chứng minh được rằng \( AC = 2MN \).