Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo từng phần một.

### a. Tính số đo góc HAB?

Trong tam giác vuông tại A, với góc B = 60 độ, ta có:

- Góc A + góc B + góc C = 180 độ
- Vì C là góc vuông nên góc C = 90 độ

Do đó:

\[
\text{góc A} + 60 + 90 = 180 \implies \text{góc A} = 30 \text{ độ}
\]

Khi AH vuông góc với BC, tam giác HAB sẽ có tứ giác AHB là vuông tại A.

Dễ dàng nhận thấy:

- Góc HAB = 90 độ (góc vuông tại A)

Vậy:

\[
\text{góc HAB} = 90 \text{ độ}
\]

### b. Chứng minh tam giác AIH = tam giác AID.

1. **Xét các yếu tố của hai tam giác**:
- Cạnh AI = cạnh AI (chung)
- Cạnh AH = cạnh AD (theo giả thiết AD = AH)
- Góc AHI = góc AID (do AH và AD cùng vươn ra từ A đến mặt phẳng BC).

2. **Kết luận**:
Theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-góc (CCG), chúng ta có tam giác AIH = tam giác AID (có hai cạnh và góc giữa hai cạnh bằng nhau).

### c. Chứng minh tam giác AHK = tam giác ADK và suy ra AB song song với KD.

- Xét tam giác AHK và ADK:

1. **Cạnh chung**: Cạnh AK là cạnh chung của AHK và ADK.
2. **Cạnh AH = AD** (theo giả thiết).
3. **Góc HAB = góc DAK (vì cùng nằm trên đường thẳng AK)**.

Theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-góc (CCG), ta có:

\[
\Delta AHK \cong \Delta ADK
\]

- Từ việc hai tam giác này bằng nhau, có thể suy ra rằng AB song song với KD (theo Định lý cơ bản về các đường song song).

### d. Chứng minh H là trung điểm BK và 3 điểm P, K, E thẳng hàng.

1. **Chúng ta đã biết rằng**:
- HE = HA ⇒ HE = AH ⇒ H là trung điểm của AE.
- Gọi M là trung điểm của AK. Như vậy, HE = HA = AM (do AH = HE).

2. **Xét hai đoạn thẳng BK và KE**:
- Từ sự đồng nhất về độ dài (AH = HE = ED).
- Do đó, H chia đoạn BK thành hai đoạn bằng nhau từ đỉnh K đến B và E.

Như vậy, H là trung điểm của BK.

3. **Chứng minh thẳng hàng** :
- Vì H là trung điểm của BK, do đó P, K, E thẳng hàng.

Kết thúc bài toán!