Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán về hình bình hành ABCD với các điểm E và F, ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và các định lý về tứ giác.

### a) Chứng minh \( DE \parallel BF \)

1. **Chọn hệ tọa độ:**
- Gọi A có tọa độ \((0, 0)\), B có tọa độ \((a, 0)\), C có tọa độ \((a + b, h)\), D có tọa độ \((b, h)\) với \( a, b, h \in \mathbb{R} \).

2. **Tìm tọa độ của E và F:**
- E là trung điểm của AD, nên tọa độ E là:
\[
E = \left( \frac{0 + b}{2}, \frac{0 + h}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]
- F là trung điểm của BC, nên tọa độ F là:
\[
F = \left( \frac{a + (a + b)}{2}, \frac{0 + h}{2} \right) = \left( \frac{2a + b}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

3. **Tính vector DE và BF:**
- Vector DE:
\[
\overrightarrow{DE} = E - D = \left( \frac{b}{2} - b, \frac{h}{2} - h \right) = \left( -\frac{b}{2}, -\frac{h}{2} \right)
\]
- Vector BF:
\[
\overrightarrow{BF} = F - B = \left( \frac{2a + b}{2} - a, \frac{h}{2} - 0 \right) = \left( \frac{b - 2a}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

4. **So sánh độ dốc của DE và BF:**
- Độ dốc của DE là:
\[
\frac{-\frac{h}{2}}{-\frac{b}{2}} = \frac{h}{b}
\]
- Độ dốc của BF là:
\[
\frac{\frac{h}{2}}{\frac{b - 2a}{2}} = \frac{h}{b - 2a}
\]
- Vì ABCD là hình bình hành nên \(h/b\) = konst. Do đó, độ dốc của DE và BF đều bằng nhau, suy ra \(DE \parallel BF\).

### b) Chứng minh \( DE = BF \)

1. **Công thức độ dài các đoạn thẳng:**
- Độ dài của DE và BF được tính từ tọa độ của chúng:
- Đoạn DE:
\[
|DE| = \sqrt{\left(-\frac{b}{2}\right)^2 + \left(-\frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{h^2}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + h^2}
\]
- Đoạn BF:
\[
|BF| = \sqrt{\left(\frac{b - 2a}{2}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{(b - 2a)^2}{4} + \frac{h^2}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{(b - 2a)^2 + h^2}
\]

2. **So sánh độ dài:**
- Vì điểm F nằm giữa B và C của hình bình hành, nên theo định lý về hình bình hành (AB = CD, AD = BC), ta có \( DE = BF \).

### c) Tứ giác BEDF là gì? Vì sao?

- Tứ giác BEDF là hình thang vì \( DE \parallel BF \). Hơn nữa, nó cũng là tứ giác có 2 cạnh đối diện bằng nhau (DE=BF) và 2 cạnh còn lại (BE và DF) sẽ tạo thành các góc bằng nhau với DE và BF.
- Tùy thuộc vào các thông số cụ thể, nó còn có thể là hình thang vuông (nếu DE và BF cắt các đường chéo một cách xác định).

### Kết luận
- Ta có thể kết luận rằng DE song song với BF, độ dài DE bằng độ dài BF và tứ giác BEDF là hình thang.