Để tính độ dài đoạn thẳng \( AN \) trong tam giác \( ABC \), chúng ta có thể sử dụng định lý sin hoặc một số tính chất về hình học.

### Dữ kiện đã cho:
- \( BC = 11 \, \text{cm} \)
- \( \angle ABC = 38^\circ \)
- \( \angle ACB = 30^\circ \)

### Bước 1: Tính góc \( \angle CAB \)

Sử dụng tổng của ba góc trong tam giác:
\[
\angle CAB = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 38^\circ - 30^\circ = 112^\circ
\]

### Bước 2: Sử dụng định lý sin

Áp dụng định lý sin trong tam giác \( ABC \):
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]
Trong đó:
- \( a = BC = 11\, \text{cm} \)
- \( b = AC \)
- \( c = AB \)

Muốn tìm \( AN \), ta cần xác định chiều cao từ \( A \) vuông góc với \( BC \).

### Bước 3: Tính chiều cao \( h \)

Chiều cao \( h \) từ \( A \) đến \( BC \) có thể tính bằng:
\[
h = BC \cdot \sin(\angle CAB) = 11 \cdot \sin(112^\circ)
\]

### Bước 4: Tính \( AN \)

Khi đã có chiều cao \( h \) thì:
\[
AN = h = 11 \cdot \sin(112^\circ)
\]

### Bước 5: Tính toán

Sử dụng giá trị gần đúng cho \( \sin(112^\circ) \):
\[
\sin(112^\circ) \approx 0.9272
\]
Tính:
\[
AN = 11 \cdot 0.9272 \approx 10.2 \, \text{cm}
\]

### Kết luận

Độ dài đoạn thẳng \( AN \) khoảng \( 10.2 \, \text{cm} \).