Tam giác AEF cân tại A và gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh AM vuông góc với EF

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ xem xét tam giác AEF cân tại A và M là trung điểm của đoạn EF.

### a) Chứng minh AM vuông góc với EF

1. **Tam giác AEF cân tại A**: Có nghĩa là AE = AF.

2. **M là trung điểm của EF**: Điều này cũng có nghĩa là EM = MF.

3. **Xét tam giác AEM và tam giác AFM**:
- AE = AF (do tam giác AEF cân)
- EM = MF (do M là trung điểm của EF)
- AM = AM (đoạn chung).

4. **Suy ra**: Tam giác AEM và AFM có các cạnh tương ứng bằng nhau, do đó theo bài toán về đồng dạng tam giác, ta có:
\[
\triangle AEM \cong \triangle AFM
\]
từ đó suy ra rằng góc AEM = góc AFM.

5. **Gọi góc AEM = góc AFM = α**: Như vậy, tổng các góc trong tam giác AEF là:
\[
∠EAF + \angle AFE + ∠AFE = 180^\circ
\]
hay là:
\[
α + α + ∠EAF = 180^\circ \implies 2α + ∠EAF = 180^\circ
\]
hay là:
\[
2α = 180^\circ - ∠EAF
\]
cho phép ta thấy rằng α là 90 độ.

6. **Kết luận**: Vì α là góc vuông, ta có AM vuông góc với EF.

### b) Chứng minh HK // EF

1. **Kẻ MH vuông góc với AE**: Theo định nghĩa, MH và AE tạo thành một góc vuông tại điểm H.

2. **Kẻ MK vuông góc với AF**: Tương tự, MK và AF cũng tạo thành một góc vuông tại điểm K.

3. **Xét hai tam giác MH và MK**:
- MH vuông góc AE
- MK vuông góc AF

4. **Vì AM vuông góc với EF và H và K lần lượt là chân đường vuông góc từ M tới AE và AF**: Nếu góc MHF và góc MKF đều vuông, kéo theo HK phải song song với EF. Điều này bởi vì nếu 2 đường thẳng cắt nhau tạo thành một góc vuông với đoạn thẳng khác, thì 2 đoạn thẳng đó sẽ song song với nhau.

5. **Kết luận**: Do đó, HK // EF.

Vậy ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.