Để giải bài toán này, ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác và các tỉ lệ giữa các đoạn.

### a) Tính diện tích tam giác ABD

Tam giác AED có diện tích \( S_{AED} = 4 \, \text{cm}^2 \).
Ta có:
- \( AE = \frac{2}{3} AB \)
- \( AD = \frac{1}{3} AC \)

Diện tích tam giác ABD liên quan đến AED như sau:

\[
S_{ABD} = S_{AED} \cdot \frac{AB}{AE} \cdot \frac{AC}{AD}
\]

Thay vào:

\[
S_{ABD} = 4 \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}} = 4 \cdot \frac{3}{2} \cdot 3 = 18 \, \text{cm}^2
\]

### b) Tính diện tích tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC có thể tính qua diện tích của ABD và tỉ lệ của E và D trên các cạnh của tam giác ABC:

\[
S_{ABC} = S_{ABD} + S_{AED}
\]

\[
S_{ABC} = 18 + 4 = 22 \, \text{cm}^2
\]

### c) Tính diện tích tam giác DEF

Ta có:
- \( BF = \frac{2}{3} BC \)
- Kết hợp với các chiều dài đã biết:

Diện tích tam giác DEF cũng có thể được tính bằng cách tương tự với diện tích AED:

\[
S_{DEF} = S_{AED} \cdot \frac{AD}{AC} \cdot \frac{BF}{BC}
\]

Với \( AD = \frac{1}{3}AC \) và \( BF = \frac{2}{3}BC \):

\[
S_{DEF} = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = 4 \cdot \frac{2}{9} = \frac{8}{9} \, \text{cm}^2
\]

### Kết quả

a) \( S_{ABD} = 18 \, \text{cm}^2 \)

b) \( S_{ABC} = 22 \, \text{cm}^2 \)

c) \( S_{DEF} = \frac{8}{9} \, \text{cm}^2 \)