Để rút gọn và sắp xếp hai đa thức \( P(x) \) và \( Q(x) \), ta thực hiện các bước sau:

### a) Rút gọn và sắp xếp

**Đa thức \( P(x) \)**:
\[
P(x) = 3x^3 + 5x - 12 - x^2 + x^3 - 6x^2 - 2x
\]
Kết hợp các hạng tử lại:
\[
P(x) = (3x^3 + x^3) + (-12 - 6x^2 - x^2) + (5x - 2x) = 4x^3 - 7x^2 + 3x - 12
\]

**Đa thức \( Q(x) \)**:
\[
Q(x) = -2x^3 + x - 3x^2 + 12 + 8x^2 - 10x - 2x^3
\]
Kết hợp các hạng tử lại:
\[
Q(x) = (-2x^3 - 2x^3) + (12) + (-3x^2 + 8x^2) + (x - 10x) = -4x^3 + 5x^2 - 9x + 12
\]

### Bước kết quả
- **\( P(x) = 4x^3 - 7x^2 + 3x - 12 \)**
- **\( Q(x) = -4x^3 + 5x^2 - 9x + 12 \)**

### b) Tính \( H(x), G(x) \)

\[
H(x) = P(x) + Q(x) = (4x^3 - 4x^3) + (-7x^2 + 5x^2) + (3x - 9x) + (-12 + 12)
\]
\[
H(x) = -2x^2 - 6x
\]

\[
G(x) = 2P(x) - Q(x) = 2(4x^3 - 7x^2 + 3x - 12) - (-4x^3 + 5x^2 - 9x + 12)
\]
Kết hợp:
\[
G(x) = 8x^3 - 14x^2 + 6x - 24 + 4x^3 - 5x^2 + 9x - 12
\]
\[
G(x) = (8x^3 + 4x^3) + (-14x^2 - 5x^2) + (6x + 9x) + (-24 - 12)
\]
\[
G(x) = 12x^3 - 19x^2 + 15x - 36
\]

### c) Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do

- Hệ số cao nhất của \( H(x) \): \(-2\) (hạng tử có bậc cao nhất \( x^2 \))
- Hệ số tự do của \( H(x) \): \(0\)

- Hệ số cao nhất của \( G(x) \): \(12\) (hạng tử có bậc cao nhất \( x^3 \))
- Hệ số tự do của \( G(x) \): \(-36\)

### d) Tính giá trị cụ thể

- \( H(-1) \):
\[
H(-1) = -2(-1)^2 - 6(-1) = -2 + 6 = 4
\]

- \( H(2) \):
\[
H(2) = -2(2^2) - 6(2) = -8 - 12 = -20
\]

- \( G\left(-\frac{1}{2}\right) \):
\[
G\left(-\frac{1}{2}\right) = 12\left(-\frac{1}{2}\right)^3 - 19\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 15\left(-\frac{1}{2}\right) - 36
\]
Tính từng phần:
\[
= 12(-\frac{1}{8}) - 19(\frac{1}{4}) - \frac{15}{2} - 36
= -\frac{3}{2} - \frac{19}{4} - \frac{30}{4} - 36
= -\frac{3}{2} - \frac{49}{4} - 36
= -\frac{6}{4} - \frac{49}{4} - \frac{144}{4} = -\frac{199}{4}
\]

- \( G(0) \):
\[
G(0) = -36
\]

### e) Tìm nghiệm của da thức \( H(x) \)
Giải phương trình \( H(x) = 0 \):
\[
-2x^2 - 6x = 0 \implies -2x(x + 3) = 0
\]
Nghiệm là:
\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -3
\]

### Kết quả
- Đa thức sau khi rút gọn:
- \( P(x) = 4x^3 - 7x^2 + 3x - 12 \)
- \( Q(x) = -4x^3 + 5x^2 - 9x + 12 \)
- \( H(x) = -2x^2 - 6x \)
- \( G(x) = 12x^3 - 19x^2 + 15x - 36 \)
- Giá trị:
- \( H(-1) = 4 \)
- \( H(2) = -20 \)
- \( G\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{199}{4} \)
- \( G(0) = -36 \)
- Nghiệm của \( H(x) \) là \( x = 0 \) và \( x = -3 \).