Để phân tích đa thức \(4x^2 - 25y^2 + 4x + 1\) thành nhân tử, chúng ta có thể sắp xếp lại các hạng tử theo dạng chuẩn.

Trước tiên, ta nhắc lại công thức nghiệm của một đa thức bậc 2, đó là:

\[
ax^2 + bx + c = a(x - r_1)(x - r_2)
\]

Nơi mà \(r_1\) và \(r_2\) là nghiệm của phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\).

Bước 1: Sắp xếp lại đa thức

Ta sắp xếp lại đa thức như sau:

\[
4x^2 + 4x - 25y^2 + 1
\]

Bước 2: Nhóm các hạng tử

Ta sẽ nhóm các hạng tử có chứa \(x\):

\[
(4x^2 + 4x) + (-25y^2 + 1)
\]

Bước 3: Phân tích từng nhóm

- Nhóm đầu tiên \(4x^2 + 4x\):

\[
4x^2 + 4x = 4x(x + 1)
\]

- Nhóm thứ hai \(-25y^2 + 1\) có thể viết lại thành:

\[
1 - 25y^2 = 1 - (5y)^2 = (1 - 5y)(1 + 5y)
\]

Bước 4: Gộp lại

Ta có thể viết lại toàn bộ đa thức như sau:

\[
4x(x + 1) + (1 - 5y)(1 + 5y)
\]

Nhưng các nhóm này không dễ dàng để phân tích thành nhân tử ngay. Một cách khác là thử nghiệm cách khác để phân tích thành nhân tử trực tiếp nếu nhìn nhận bằng cách khác.

Bước 5: Đặt lại dạng

Ta có thể thử kết hợp các hạng tử lại theo cách khác. Ta muốn biến đổi một chút để dễ nhìn hơn.

Thực ra, đa thức này rất gần với dạng hiệu hai bình phương với các hạng tử chứa \(x\) và \(y\). Do đó, chúng ta có thể thử áp dụng định lý phân tích hiệu hai bình phương.

Cuối cùng, chúng ta sẽ nhóm lại như sau:

\[
4x^2 + 4x + 1 - 25y^2 = (2x + 1)^2 - (5y)^2
\]

Chúng ta có thể áp dụng công thức hiệu hai bình phương:

\[
(a^2 - b^2) = (a - b)(a + b)
\]

Trong đó:

- \(a = 2x + 1\)
- \(b = 5y\)

Áp dụng vào, ta được:

\[
(2x + 1 - 5y)(2x + 1 + 5y)
\]

Vậy, đa thức \(4x^2 - 25y^2 + 4x + 1\) có thể phân tích thành nhân tử như sau:

\[
(2x + 1 - 5y)(2x + 1 + 5y)
\]

Như vậy, kết quả cuối cùng là:

\[
4x^2 - 25y^2 + 4x + 1 = (2x + 1 - 5y)(2x + 1 + 5y)
\]