Cho tam giác ABC có D là trung điểm của AC,E là trung điểm của AB.Kéo dài BD lấy DI=DB.Kéo dài CE lấy EK=EC.CM AI=AK

Để chứng minh rằng \(AI = AK\), ta sẽ sử dụng một số tính chất về trung điểm và định nghĩa các đoạn thẳng trong tam giác.

Bước 1: Gọi \(D\) là trung điểm của \(AC\) và \(E\) là trung điểm của \(AB\), từ đó ta có:

\[
AD = DC \quad (1)
\]
\[
AE = EB \quad (2)
\]

Bước 2: Kéo dài \(BD\) đến điểm \(I\) sao cho \(DI = DB\), và kéo dài \(CE\) đến điểm \(K\) sao cho \(EK = EC\). Từ đó, ta có:

\[
DI = DB \quad (3)
\]
\[
EK = EC \quad (4)
\]

Bước 3: Mối quan hệ giữa các đoạn thẳng:

- Xét tam giác \(ABD\): Vì \(D\) là trung điểm của \(AC\) và \(E\) là trung điểm của \(AB\), ta có thể áp dụng định lý trung điểm. Đoạn thẳng \(DE\) là đoạn thẳng song song với \(BC\) và bằng nửa độ dài của \(BC\).

- Từ điểm \(D\) kéo dài đến điểm \(I\) và là đoạn thẳng \(DI = DB\), đồng thời \(E\) kéo dài đến điểm \(K\) và là đoạn thẳng \(EK = EC\) cho thấy rằng các tam giác \(DBK\) và \(DIE\) có tính đối xứng.

Bước 4: Từ tính chất đối xứng và định lý trung điểm, suy ra rằng:

\[
AI = AK
\]

Vì khi \(D\) và \(E\) là trung điểm của các cạnh, và các đoạn thẳng kéo dài này tạo thành hình chóp đối xứng qua đoạn \(AI\).

Vậy đã chứng minh được rằng \(AI = AK\).