Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = (x - 2012)^2 + (x + 2013)^2 \), ta tiến hành như sau:

1. Mở rộng biểu thức:
\[
P = (x - 2012)^2 + (x + 2013)^2
\]
Ta có:
\[
P = (x^2 - 2 \cdot 2012 \cdot x + 2012^2) + (x^2 + 2 \cdot 2013 \cdot x + 2013^2)
\]
Kết hợp các hạng tử lại:
\[
P = 2x^2 + (-2 \cdot 2012 + 2 \cdot 2013)x + (2012^2 + 2013^2)
\]
\[
P = 2x^2 + 2x + (2012^2 + 2013^2)
\]

2. Để đơn giản hóa hơn, ta có thể viết lại:
\[
P = 2\left(x^2 + x + \frac{2012^2 + 2013^2}{2}\right)
\]

3. Tập trung vào phần \( x^2 + x \):
Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( x^2 + x \), ta có thể tính đạo hàm và tìm nghiệm:
\[
f(x) = x^2 + x
\]
\[
f'(x) = 2x + 1
\]
Giải phương trình \( f'(x) = 0 \):
\[
2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}
\]

4. Thay giá trị \( x = -\frac{1}{2} \) vào \( P \):
\[
P = 2\left(\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{2012^2 + 2013^2}{2}\right)
\]
\[
= 2\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{2012^2 + 2013^2}{2}\right)
\]
\[
= 2\left(-\frac{1}{4} + \frac{2012^2 + 2013^2}{2}\right)
\]
\[
= 2\left(\frac{2012^2 + 2013^2 - \frac{1}{2}}{2}\right) = 2012^2 + 2013^2 - \frac{1}{4}
\]

5. Tính \( 2012^2 + 2013^2 \):
\[
2012^2 = 4048144,\quad 2013^2 = 4052169
\]
\[
2012^2 + 2013^2 = 4048144 + 4052169 = 8100313
\]
Cuối cùng:
\[
P_{\text{min}} = 8100313 - \frac{1}{4} = 8100312.75
\]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là \( 8100312.75 \).