Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x^2 - 2xy + 2y^2 - 4y + 5 \), ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương.

Bắt đầu với phần liên quan đến \( x \) và \( y \):

\[ A = x^2 - 2xy + 2y^2 - 4y + 5 \]

Nhóm các thành phần liên quan đến \( y \):

\[ A = (x^2 - 2xy) + (2y^2 - 4y) + 5 \]

Hoàn thành bình phương cho \( x \):

\[ x^2 - 2xy = (x - y)^2 - y^2 \]

Vậy biểu thức trở thành:

\[ A = (x - y)^2 - y^2 + 2y^2 - 4y + 5 \]
\[ A = (x - y)^2 + y^2 - 4y + 5 \]

Tiếp theo, hoàn thành bình phương cho \( y^2 - 4y \):

\[ y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4 \]

Thay vào biểu thức:

\[ A = (x - y)^2 + (y - 2)^2 - 4 + 5 \]
\[ A = (x - y)^2 + (y - 2)^2 + 1 \]

Biểu thức \( (x - y)^2 + (y - 2)^2 \) luôn không âm, nghĩa là:

\[ (x - y)^2 + (y - 2)^2 \geq 0 \]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( A \) đạt được khi \( (x - y)^2 = 0 \) và \( (y - 2)^2 = 0 \).

Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là:

\[ A_{\text{min}} = 0 + 1 = 1 \]

Khi \( x = y \) và \( y = 2 \), có nghĩa là \( x = 2 \).

**Đáp án: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( 1 \).**