Để tìm giá trị cực trị của biểu thức \( M = 4x^2 + 4x + 5 \), ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Xác định dạng của biểu thức**: Đây là một đa thức bậc 2 với hệ số của \( x^2 \) dương (4 > 0). Do đó, biểu thức này sẽ có giá trị nhỏ nhất tại một điểm cụ thể và không có giá trị lớn nhất.

2. **Tìm giá trị nhỏ nhất**:

Sử dụng công thức tìm tọa độ đỉnh của parabola \( x = -\frac{b}{2a} \):

\[
a = 4, \quad b = 4
\]

Thay vào công thức:

\[
x = -\frac{4}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{2}
\]

3. **Tính giá trị của M tại \( x = -\frac{1}{2} \)**:

\[
M = 4\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 4\left(-\frac{1}{2}\right) + 5
\]
\[
= 4 \cdot \frac{1}{4} - 2 + 5
\]
\[
= 1 - 2 + 5 = 4
\]

4. **Kết luận**: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M \) là 4, đạt được tại \( x = -\frac{1}{2} \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( M \) là \( 4 \).