Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[
A = (x - 1)(2x - 1)(2x^2 - 3x - 1) + 2017,
\]

trước tiên, ta sẽ phân tích và đơn giản hóa biểu thức.

1. **Tính giá trị của \((x - 1)(2x - 1)\):**
\[
(x - 1)(2x - 1) = 2x^2 - x - 2x + 1 = 2x^2 - 3x + 1.
\]

2. **Giờ ta sẽ nhân với \((2x^2 - 3x - 1)\):**
\[
A = (2x^2 - 3x + 1)(2x^2 - 3x - 1) + 2017.
\]

Gọi \(y = 2x^2 - 3x\), ta có:
\[
A = (y + 1)(y - 1) + 2017 = y^2 - 1 + 2017 = y^2 + 2016.
\]

3. **Kiểm tra cách tối thiểu hóa \(y\):**
\[
y = 2x^2 - 3x.
\]
Biểu thức \(y\) là một hàm bậc hai mở lên và đạt giá trị nhỏ nhất tại
\[
x = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2 \cdot2} = \frac{3}{4}.
\]

Thay \(x = \frac{3}{4}\) vào \(y\):
\[
y = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{4}\right).
\]
Tính:
\[
= 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} = \frac{18}{16} - \frac{36}{16} = -\frac{18}{16} = -\frac{9}{8}.
\]

4. **Tính giá trị nhỏ nhất của \(A\):**
\[
A = y^2 + 2016 = \left(-\frac{9}{8}\right)^2 + 2016 = \frac{81}{64} + 2016.
\]

5. **Chuyển đổi thành số thập phân:**
\[
A = 2016 + \frac{81}{64} \approx 2016 + 1.265625 = 2017.265625.
\]

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) là \(\boxed{2017.265625}\).