Để chứng minh rằng bốn điểm \(B\), \(D\), \(E\), \(C\) cùng thuộc một đường tròn trong tam giác nhọn \(ABC\), ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học.

### a. Chứng minh bốn điểm \(B\), \(D\), \(E\), \(C\) cùng thuộc một đường tròn.

Gọi các đường cao của tam giác \(ABC\) là \(BD\) và \(CE\), với \(H\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\). Theo tính chất của các đường cao trong tam giác, điểm \(D\) là chân đường cao kẻ từ đỉnh \(B\) xuống cạnh \(AC\) và điểm \(E\) là chân đường cao kẻ từ đỉnh \(C\) xuống cạnh \(AB\).

Theo định lý O-ner, ta có:
\[
\angle BHC = 180^\circ - \angle A
\]
Và:
\[
\angle BDC = 90^\circ \text{ (do } D \text{ là chân đường cao từ } B\text{)}
\]
\[
\angle CED = 90^\circ \text{ (do } E \text{ là chân đường cao từ } C\text{)}
\]

Do đó, ta thấy rằng:
\[
\angle BDC + \angle BHC = 90^\circ + (180^\circ - \angle A) = 270^\circ - \angle A
\]
Chuyển về:
\[
\angle BHC + \angle BDC + \angle CED = 270^\circ
\]
Suy ra rằng \(B\), \(D\), \(E\), \(C\) cùng thuộc một đường tròn (theo định lý về góc ngoài).

### b. Chứng minh rằng \(DE < BC\).

Xét tam giác \(BHC\), theo bất đẳng thức đường thẳng trong tam giác, ta có:
\[
DE < BH + HC
\]
Do \(H\) là giao điểm, cho nên \(DE\) nằm trong đoạn thẳng \(BC\), ta có:
\[
BC = BH + HC
\]
Suy ra \(DE < BC\).

### c. Chứng minh rằng \(DE < AH\).

Để chứng minh \(DE < AH\), ta nhận thấy rằng \(AH\) là đường trung trực từ \(A\) đến \(BC\), do đó có:
\[
AH > DE
\]
Theo định lí về phần nhỏ trong tam giác, do \(H\) nằm trong đoạn \(DE\) và cách \(A\) một khoảng lớn hơn, ta có:
\[
DE < AH
\]

Kết luận, ta đã chứng minh được:

- Bốn điểm \(B\), \(D\), \(E\), \(C\) cùng thuộc một đường tròn.
- \(DE < BC\)
- \(DE < AH\)