Để giải phương trình lượng giác \( \sin 2x + \sqrt{3} \cos x = 0 \), ta thực hiện các bước như sau:

1. **Sử dụng công thức lượng giác**:
\[
\sin 2x = 2 \sin x \cos x
\]
Thay vào phương trình, ta có:
\[
2 \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos x = 0
\]

2. **Gom lại**:
\[
\cos x (2 \sin x + \sqrt{3}) = 0
\]

Phương trình trên có thể được giải bằng cách xét từng nhân tử:

- **Nhân tử thứ nhất**: \( \cos x = 0 \)
- Giải trong khoảng \( [0, 2\pi) \):
\[
x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]

- **Nhân tử thứ hai**: \( 2 \sin x + \sqrt{3} = 0 \)
- Đặt:
\[
\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\]
- Phương trình này có nghiệm trong khoảng \( [0, 2\pi) \):
\[
x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{và} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]

3. **Tổng hợp nghiệm**:
- Từ \( \cos x = 0 \):
\[
x = \frac{\pi}{2} + k\pi
\]
- Từ \( 2\sin x + \sqrt{3} = 0 \):
\[
x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{và} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi
\]

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
\[
x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]