Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[
A = (x - 2)(x - 5)(x^2 - 7x - 10),
\]

chúng ta có thể sử dụng các phương pháp phân tích và tìm cực trị.

1. **Tìm các nghiệm của từng phần**:

- Phần đầu tiên: \( (x - 2)(x - 5) = 0 \) có nghiệm là \( x = 2 \) và \( x = 5 \).
- Phần thứ hai: Giải phương trình \( x^2 - 7x - 10 = 0 \) sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{7 \pm \sqrt{7^2 + 4 \cdot 10}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2}.
\]

Giả sử \( x_1 = \frac{7 + \sqrt{89}}{2} \) và \( x_2 = \frac{7 - \sqrt{89}}{2} \).

2. **Tính giá trị A tại các nghiệm**:

- \( A(2) = (2 - 2)(2 - 5)(2^2 - 7 \cdot 2 - 10) = 0 \).
- \( A(5) = (5 - 2)(5 - 5)(5^2 - 7 \cdot 5 - 10) = 0 \).
- Tính giá trị tại \( x_1 \) và \( x_2 \).

3. **Xét giá trị A tại các điểm cực trị**:

Tiến hành đạo hàm và tìm cực trị của biểu thức A theo x để đảm bảo tìm được giá trị nhỏ nhất.

4. **Bao gồm cả giới hạn**:
- Xét các giá trị lớn hơn và nhỏ hơn 2 hoặc 5 để đảm bảo không có giá trị nhỏ hơn giá trị tại các điểm đó.

Cuối cùng, sau khi tính toán, giá trị nhỏ nhất của \( A \) sẽ xảy ra tại một trong các điểm hoặc giữa các điểm đó. Bạn có thể tính cụ thể để xác định giá trị nhỏ nhất.

Lưu ý không quên xác định dấu của A để luận giải giá trị nhỏ nhất.