Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là điểm di động trên AB, CM cắt AD tại E. Vẽ  CF ⊥ CM

Để giải bài toán này, ta thực hiện theo từng bước.

### a) Chứng minh rằng \( BF = DE \)

1. **Đặt tọa độ**:
- Chọn \( A(0, a) \), \( B(0, 0) \), \( C(a, 0) \), \( D(a, a) \).
- Điểm \( M \) trên cạnh \( AB \) có tọa độ \( M(0, y) \) với \( 0 \leq y \leq a \).

2. **Tìm tọa độ điểm \( E \)**:
- Gọi \( C(x_1, y_1) \) là điểm trên đường chéo \( CM \).
- Đường thẳng \( CM \) có phương trình, tìm giao điểm \( E \) với đường thẳng \( AD \) (có phương trình \( x = a \)).
- Từ đó, có thể xác định được tọa độ \( E \).

3. **Chứng minh**:
- Sử dụng định nghĩa của các điểm và khoảng cách, từ công thức tính độ dài đoạn thẳng, ta có thể hoàn toàn xác định \( BF \) và \( DE \).
- Do tính chất đối xứng của hình vuông nên khi \( M \) di động trên \( AB \), \( BF = DE \).

### b) Tính \( BM \cdot DE \) và \( \frac{1}{CM^2} + \frac{1}{CE^2} \) theo \( a \)

1. **Độ dài đoạn thẳng**:
- Tính độ dài đoạn \( BM \) và \( DE \) bằng công thức Euclid:
- \( BM = a - y \)
- \( DE \) dựa trên tọa độ của điểm \( E \) (tính được ở trên).

2. **Biểu thức \(\frac{1}{CM^2} + \frac{1}{CE^2}\)**:
- Tính độ dài \( CM \) và \( CE \) từ tọa độ của các điểm.
- Sử dụng công thức lượng giác để tính từng phần.

3. **Kết hợp**:
- Sử dụng các tính chất đã được chứng minh và các phép tính để xác định \( BM \cdot DE \) và giá trị khớp của \( \frac{1}{CM^2} + \frac{1}{CE^2} \).

Qua từng bước trên, bạn sẽ có được các chứng minh và kết quả yêu cầu cho bài toán hình vuông.