Chứng minh n^2(n + 1)2n(n + 1)chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Để chứng minh rằng \( n^2(n + 1)2^n(n + 1) \) chia hết cho 6 với mọi số nguyên \( n \), ta cần chứng minh rằng biểu thức này chia hết cho 2 và 3, vì \( 6 = 2 \times 3 \).

**1. Chứng minh chia hết cho 2:**

Nhìn vào biểu thức \( n^2(n + 1)2^n(n + 1) \):

- \( 2^n \) luôn là một số chẵn với mọi số nguyên \( n \geq 1 \).
- Nếu \( n \) là số chẵn thì \( n^2 \) là chẵn.
- Nếu \( n \) là số lẻ thì \( n + 1 \) chẵn, và do đó \( (n + 1)n \) chẵn.

Vì vậy, trong mọi trường hợp, biểu thức \( n^2(n + 1)2^n(n + 1) \) luôn có ít nhất một yếu tố chẵn, suy ra nó chia hết cho 2.

**2. Chứng minh chia hết cho 3:**

Ta xét hai trường hợp của \( n \):

- **Trường hợp 1:** \( n \equiv 0 \mod 3 \)

Khi đó \( n \) chia hết cho 3, nên \( n^2(n + 1)2^n(n + 1) \) chắc chắn chia hết cho 3.

- **Trường hợp 2:** \( n \equiv 1 \mod 3 \)

Khi đó \( n + 1 \equiv 2 \mod 3 \) và \( n^2 \equiv 1 \mod 3 \). Như vậy:

\[
n^2(n + 1) \equiv 1 \cdot 2 \equiv 2 \mod 3
\]

Do đó \( n^2(n + 1)2^n(n + 1) \) không chia hết cho 3.

- **Trường hợp 3:** \( n \equiv 2 \mod 3 \)

Khi đó \( n + 1 \equiv 0 \mod 3 \) nên \( n + 1 \) chia hết cho 3. Ta cũng có \( n^2 \equiv 1 \mod 3 \), vì vậy:

\[
n^2(n + 1) \equiv 1 \cdot 0 \equiv 0 \mod 3
\]

Như vậy, trong trường hợp này cũng chia hết cho 3.

**Kết luận:**

Tóm lại, \( n^2(n + 1)2^n(n + 1) \) chia hết cho 2 và 3 với mọi số nguyên \( n \). Do đó, nó chia hết cho 6.

Vậy, \( n^2(n + 1)2^n(n + 1) \) chia hết cho 6 với mọi số nguyên \( n \).