Gọi số viên bi của Hoà lúc đầu là \( x \) và số viên bi của Bình lúc đầu là \( y \).

Theo bài toán, chúng ta có hai phương trình:

1. \( x + y = 120 \) (Tổng số viên bi của Hoà và Bình)
2. \( x - 15 = y + 15 \) (Nếu Hoà cho Bình 15 viên bi, số bi của họ bằng nhau)

Từ phương trình thứ hai, ta có:

\[
x - 15 = y + 15
\]

Sắp xếp lại phương trình này, ta được:

\[
x - y = 30 \quad (1)
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x + y = 120 \quad (2) \\
x - y = 30 \quad (1)
\end{cases}
\]

Cộng hai phương trình (1) và (2):

\[
(x + y) + (x - y) = 120 + 30
\]

Điều này cho:

\[
2x = 150
\]

Suy ra:

\[
x = 75
\]

Thế giá trị \( x \) vào phương trình (2):

\[
75 + y = 120
\]

Suy ra:

\[
y = 120 - 75 = 45
\]

Vậy số bi của Hoà và Bình lúc đầu là:

- Hoà có 75 viên bi.
- Bình có 45 viên bi.

Kiểm tra lại điều kiện: Nếu Hoà cho Bình 15 viên bi, số bi của họ sẽ là:

- Hoà: \( 75 - 15 = 60 \)
- Bình: \( 45 + 15 = 60 \)

Số bi bằng nhau, và điều kiện đề bài đã được thỏa mãn.

Kết quả cuối cùng:

- Hoà có 75 viên bi.
- Bình có 45 viên bi.